Проблема абстракции в математике

Категория реферата: Рефераты по философии
Теги реферата: сочинения по литературе, реферат субъекты
Добавил(а) на сайт: Кабалкин.

Поскольку в математических понятиях отображается лишь количественная сторона предметов и процессов, постольку эти понятия представляют наиболее односторонний снимок с действительности. Чтобы выделить количественные отношения и пространственные формы в «чистом» виде, математик должен применить абстракцию «наибольшей силы», так как он обязан отвлечься от всех качественных особенностей и специфических свойств предметов и явлений. Эта особенность математической абстракции осознавалась уже античными философами. Один из универсальных умов той эпохи, Аристотель, так описывает подход математика к реальному миру: «...в отношении сущего примером служит то рассмотрение, которому математик подвергает объекты, полученные посредством отвлечения. Он производит это рассмотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства, например тяжесть и легкость, жесткость и противоположное, далее — тепло и холод и все остальные чувственные противоположности, а сохраняет только количественную определенность и непрерывность...»[1,c.40].

По сравнению с естествознанием в математике процесс абстрагирования идет значительно дальше. В известном смысле справедливо утверждать, что там, где естествоиспытатель останавливается, математическое исследование только начинается. Лучше всего это можно проиллюстрировать на примере геометрии. Хорошо известно, что пространственные свойства материальных тел не существуют обособленно от самих тел. Они всецело определяются внутренними и внешними связями тел, но для лучшего понимания пространственных свойств исследователь вынужден временно абстрагироваться от всех их других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела представляет крайне односторонний снимок с действительности. Уже понятие физического тела представляет абстракцию, так как здесь отвлекаются от всех нефизических свойств. В понятии же геометрического тела отвлекаются и от физических свойств и сохраняют лишь его пространственные свойства.
Естественно поэтому, что в теоретической физике наряду с широким применением математических понятий главное значение имеют специфические для этой науки физические понятия. В некоторых разделах механики, например в кинематике, физическая абстракция почти приближается к математической, поскольку материальное тело в известных условиях (малость размеров в сравнении с расстоянием между телами) отождествляется с материальной точкой. Но уже в пределах кинематики встречаются с такими специфическими физическими характеристиками тела, как его скорость, ускорение и т. п.

Вторая важнейшая особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. В простейшей форме этот процесс встречался при выяснении происхождения понятия числа. Первоначально понятие числа еще не отделяется от сосчитываемых совокупностей и поэтому выступает как именованное число. Впоследствии оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.

Эти две ступени абстракции мало чем отличаются от соответствующих абстракций естествознания. Но в математике отвлечение идет дальше. Если на втором этапе с понятием числа связывались еще конкретные отвлеченные числа, как, например, 1, 2... 15 ...100 и т. д., то на третьем этапе абстрагируются также и от конкретного значения числа. На этой основе и возникло понятие о любом возможном натуральном число, к которому пришли еще древние греки. Оперирование с таким понятием имело чрезвычайно большое значение для математики, так как оно давало возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.

Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить в развитии такого фундаментального понятия всей математики, каким является функция. К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разнообразных задачах естествознания и техники. По сути дела большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин.

В математике изучаются различные виды функций (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы иметь возможность рассуждать о любых функциях, исследователь должен отвлечься от конкретных особенностей вышеперечисленных и других функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это будет уже следующий этап абстрагирования.
Дальнейший этап связан с образованием понятия функционала, который служит естественным обобщением функции и содержит его как частный случай.

Число таких примеров можно было бы легко увеличить. Достаточно напомнить процесс обобщения таких понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и другие, чтобы убедиться в том, что процесс обобщения в математике, как правило, проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.

Во всей истории математики можно выделить три больших исторических этапа в развитии ее абстракций. На первом этапе, связанном с возникновением арифметики и геометрии, отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов. На втором этапе, когда вводится буквенная символика и происходит переход к алгебре, стали отвлекаться уже от конкретных чисел и величин.
Наконец, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними. Так, например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, множеств каких- либо объектов («пересечение» множеств) и даже предложений (в математической логике). Таким образом, переменными здесь становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.

Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая»,
«плоскость» Евклидовой геометрии представляют идеальные объекты, так как образуются посредством идеализации. Если же идеализацию понимать несколько шире, а именно как процесс образования таких понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие у них, тогда можно будет с известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно абстрактные, или идеальные, математические объекты. Разумеется, что эти объекты не плод чистой фантазии. Они, как и вся математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует ими именно как идеальными объектами.

По существу такими же идеальными объектами являются понятия математической бесконечности потенциальной и актуальной. При образовании этих понятий приходится прибегать к различным абстракциям осуществимости.
Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. д., о чем подробнее будет сказано ниже.

Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а по к эксперименту, как это часто имеет место в естествознании.

2. Абстракция актуальной бесконечности.

Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечного множества, от невозможности задать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принципиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, что позволяет рассматривать, например, отрезок прямой как бесконечное множество точек, каждую из которых можно индивидуализировать, обозначив ее каким-то действительным числом.

Понятие актуальной бесконечности возникает с помощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Этот аппарат возник и вполне оправдал себя при исследовании конечных множеств. Идеализированный характер актуальной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстрагируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.

Поскольку актуальная бесконечность представляет собой чрезвычайно сильную абстракцию, то с пониманием ее связан целый ряд трудностей. Прежде всего интуиция восстает против представления бесконечности и виде завершенного процесса. Завершенность бесконечности нередко понимается как ее уничтожение. Так, например, натуральный ряд чисел обычно мыслится как неограниченно продолженный, и интуиции нелегко свыкнуться с представлением о законченности этого ряда.

Еще Аристотель возражал против использования и науке понятия актуальной бесконечности, ссылаясь на то, что известен способ счета только на конечных множествах. Он указывал, что конечное число разрушается актуальной бесконечностью.

Разбирая возражения, Кантор указывает, что и с бесконечными множествами можно производить некоторые действия счета, если определенным образом упорядочить их. Разница будет состоять только в том, что если для конечных множеств порядок элементов не влияет па результат счета, то для бесконечных множеств он зависит от способа их упорядочения. Часто отмечали также, что актуальную бесконечность нельзя целиком объять в мысли, так как она предполагает сосчитанным бесконечное множество. Возражая против этого, еще
Б. Больцано заметил: чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части.

Понятие актуальной бесконечности приводит к чрезвычайно неожиданным следствиям, например, утверждение, что для бесконечных множеств аксиома
«часть меньше целого» теряет свою силу. Действительно, еще в XVII в.
Галилей заметил, что квадраты целых положительных чисел могут быть поставлены во взаимноднозначное соответствие с самими положительными числами, и следовательно, эти множества эквивалентны.

Все эквивалентные множества обладают определенным общим свойством, которое можно выделить с помощью абстракции отождествления. Это свойство в математике принято называть мощностью множества. В случае конечных множеств она совпадает с количеством элементов. В случае же бесконечных множеств, указывает Кантор, нельзя говорить о каком-либо точном определенном количестве их элементов, но зато им можно приписать определенную, совершенно не зависящую от их порядка мощность.

Воспользовавшись понятием мощности, можно определить бесконечное множество как множество, равномощное с какой-либо своей частью, или, как говорят математики, собственным подмножеством. Например, множество натуральных чисел будет равномощно с множеством квадратов натуральных чисел, или с множеством всех четных чисел, или с множеством чисел, кратных
3, 5, 7, или вообще нечетных чисел и т. д. И множество квадратов целых чисел, и множество четных чисел так же, как и нечетных, составляют лишь часть множества натуральных чисел, но тем не менее они эквивалентны целому множеству. Обычно такого рода примеры вызывают недоумение у тех, кто впервые приступает к изучению теории множеств. Кажется невозможным, чтобы часть множества была эквивалентна целому. На этой основе и возникает критическое отношение к актуальной бесконечности.

На первый взгляд может показаться, что все существующие бесконечности имеют только одну мощность. Множества и натуральных, и рациональных, и алгебраических чисел являются счетными множествами. Прибавление к таким множествам любого числа конечных, или счетных, множеств дает в итоге счетное множество. Даже умножение на счетное множество не выводит за пределы счетных множеств.

Однако если сравнить мощность натурального ряда чисел с мощностью всех действительных чисел или множеством всех точек отрезка прямой, то обнаружится, что они неравномощны. И множество всех действительных чисел, и множество точек отрезка имеют мощность большую, чем мощность счетного множества. Поэтому действительные числа, как и точки отрезка, нельзя
«пересчитать» с помощью натуральных чисел. Мощность множества действительных чисел, или точек отрезка, или любой геометрической фигуры, содержащей по крайней мере одну линию, принято называть мощностью континуума. Кантору не удалось обнаружить множеств, мощность которых была бы промежуточной между мощностью счетного множества и континуума. Поэтому он высказывал предположение, что континуум непосредственно следует за мощностью счетного множества. Решение этой знаменитой континуум-гипотезы долгое время не поддавалось никаким усилиям, и в свое время она была названа Гильбертом одной из важнейших нерешенных проблем математики. В 30-с годы К. Гёдель установил, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута, исходя из аксиом теории множеств. П. Коэн, развивая идеи
Гёделя, доказал, что континуум-гипотеза независима от других аксиом теории множеств. Иными словами, исходя из указанных аксиом, она не может быть ни доказана, ни опровергнута.

Таким образом, добавление к аксиомам теории множеств как континуум- гипотезу, так и противоположное ей утверждение, никогда не приведет к логическому противоречию. Выходит, что могут существовать разные теории множеств, в одних из которых континуум-гипотеза выполняется, в других нет.
В этом открытии Коэна нетрудно обнаружить аналогию с открытием неевклидовой геометрии, когда стало ясно, что аксиома параллельных независима от остальных аксиом абсолютной геометрии.

Благодаря трудам Кантора и его последователей понятия и методы теории множеств заняли прочное место в математике. Теория множеств дает возможность анализировать с единой точки зрения все математические науки: ведь элементами множеств могут быть всевозможные математические объекты — и числа, и фигуры, и функции и т. п. Такая общность избавляет от необходимости доказывать, теоремы для частных видов математических объектов. Все эти доказательства можно проводить теперь в общем виде.

Предельная общность и широта применения понятии и методов теории множеств не только для развития фактического содержания математики, по и для обоснования ее на новом фундаменте со временем привели к господству в математике теоретико-множественных идей.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки