Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: баллов, прочитать сообщение
Добавил(а) на сайт: Аюшиев.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
(17)
Выбираем произвольно начальные приближения неизвестных и подставляем в первое уравнение системы (17). Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы и так далее до последнего уравнения. Аналогично строим вторые, третьи и т.д. итерации.
Таким образом, предполагая, что k-е приближения 
известны, методом Зейделя
строим (k+1)-е приближение по следующим формулам:
где k=0,1,...,n
Метод Ланцоша.
Для решения СЛАУ высокого порядка (1), матрица, коэффициентов которой хранится в компактном нижеописанном виде, наиболее удобным итерационным методом является метод Ланцоша [4], схема которого имеет вид:
(18)
где
Преимуществом данного метода является его высокая скорость сходимости к точному решению. Кроме того, доказано, что он обладает
свойством «квадратичного окончания», т.е. для положительно определенной матрицы можно гарантировано получить точное решение при количестве итераций 
. Размер требуемой памяти на каждой итерации не изменяется, т.к. не требует преобразование матрицы 
. В качестве критерия остановки данного итерационного процесса обычно используют соотношение
, (19)
где 
- заданная точность. В
качестве другого критерия сходимости иногда удобнее использовать среднеквадратичную разность между решениями, полученными на соседних итерациях:
(20)
Среднеквадратичную разность необходимо контролировать при выполнении каждых k наперед заданных итераций.
Отдельно следует рассмотреть проблему выбора начального приближения 
. Доказывается, что при положительно определенной матрице 
, итерационный процесс (18) всегда сходится при любом выборе начального приближения. При решении
контактных задач, когда для уточнения граничных условий в зоне предполагаемого контакта требуется большое количество решений СЛАУ вида (1), в качестве
начального приближения для первого расчета используется правая часть системы (1), а для каждого последующего пересчета - решение, полученное на предыдущем.
Такая схема позволяет значительно сократить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности (19) или (20) [10,11].
2 МЕТОДЫ КОМПАКТНОГО ХРАНЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
Матрица жесткости, получающаяся при применении МКЭ, обладает симметричной структурой, что позволяет в общем случае хранить только верхнюю треугольную часть матрицы. Однако для задач с большим количеством неизвестных это так же приводит к проблеме нехватки памяти. Предлагаемый в данной работе метод, позволяет хранить только ненулевые члены матрицы жесткости. Суть его заключается в следующем.
Первоначально, с целью выявления связей каждого узла с другими, производится анализ структуры дискретизации области на КЭ. Например, для КЭ - сетки, изображенной на рис. 1, соответствующая структура связей будет иметь вид:
| № узла | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |||
| Связи |
1, 2, 5, 6, 7 |
1, 2, 3, 6 |
2, 3, 4, 6 |
3, 4, 5, 6, 7 |
1, 4, 5, 7 |
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладкиКатегории: |