Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic] для п.в. [pic].

Доказательство.
Покажем, что для [pic] и [pic]

[pic] ,

( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f
(x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

[pic]
(К - абсолютная константа).
Пусть [pic]- такое число, что

[pic].
Тогда для [pic]
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic].
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора [pic].
Используя его, найдем такую последовательность функций [pic] ,что

[pic],

[pic] ( 14 )

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x( (-((()
[pic]
[pic]
Учитывая , что по теореме 1 [pic] для каждого x( [-(( (] и (14) из последней оценки получим
[pic] при r(1.

Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] [pic], когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности [pic] пути.

§I.2.Пространства Hp.[pic]
Определение I.3.
Пространство [pic]- совокупность аналитических в единичном круге функций F
(z) , для которых конечна норма

[pic] .

(15)
Пусть комплекснозначная функция [pic] удовлетворяет условиям

[pic] [pic]

(16) тогда функция F (z) , определенная равенством

[pic] (17) принадлежит пространству [pic], причем

[pic] .

(18)
[pic]
[pic]Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства [pic] мы имеем

[pic] (()
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=( в силу теоремы 2)

[pic] . Отсюда [pic] ((()
Учитывая (() и ((() , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию [pic] [pic] можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция ( (t) имеет ограниченную вариацию на
[ -(((] и

[pic] (19)
Тогда ( (t) абсолютно непрерывна на [-(((].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации ( (t) . Мы говорим, что
( (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

[pic] определен для каждой непрерывной на [-(((] функции f (t) , а также если
[pic] - характеристическая функция замкнутого множества [pic].

Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества [pic],
[pic] ,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки