Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic]
Положим [pic]. Тогда будем иметь

[pic] и, в силу неравенства [pic], [pic], и периодичности [pic],

[pic]. (60)
Так как обе функции [pic] и [pic] положительны при [pic] и отрицательны при [pic] ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что [pic], мы получим

[pic]. (61)
Для [pic] имеют место оценки

[pic],

[pic].
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

[pic] при [pic], (62) если [pic]. Пусть [pic], тогда

[pic].
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения
3 вытекает, что для любой функции [pic], [pic],

[pic], (63) где [pic] - постоянная, зависящая только от [pic] .
Теорема 7.
Пусть [pic] ([pic]), [pic] и

[pic] , [pic].
[pic]Тогда [pic] и

[pic]. (64)

Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда [pic], есть прямое следствие оценки
(63) и теоремы 4. Пусть теперь [pic]. По теореме 6 [pic], где [pic],
[pic], если [pic] и [pic]. Из функции [pic] можно извлечь корень: существует функция [pic] такая, что [pic], и, следовательно из (64) при р=2, получим

[pic].
Оценка снизу для [pic] вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве [pic], пространство ВМО.

§II.1.Пространство [pic], критерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic].

Рассмотрим [pic] ([pic]) - пространство функций [pic], являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства [pic]:

[pic] для п.в. [pic], [pic]. (65)
Ранее мы доказали, что

[pic], [pic], (66) и что [pic]- банахово пространство с нормой

[pic]; (67) при этом, если в (65) [pic], то

[pic] ([pic]) . (68)
В замечании 3 уже говорилось о том, что при [pic] пространство [pic] совпадает с пространством [pic] и из утверждения 2 следует, что

[pic] ([pic]).
Последнее соотношение теряет силу при [pic] - нетрудно проверить, что при
[pic]

[pic], где

[pic] и, следовательно, существует функция [pic], для которой [pic]. Таким образом, [pic] - собственное подпространство в [pic]. Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству [pic].
ОпределениеII. 8.
Множество [pic] мы будем называть обобщенным интервалом, если [pic] - дуга на единичной окружности, т.е. [pic] - либо интервал из [pic], либо множество вида

[pic] ([pic]). (69)
Точку [pic] назовем центром обобщенного интервала [pic], если [pic] - центр дуги [pic]. Длиной обобщенного интервала [pic] естественно назвать величину

[pic]
Определение II.9.
Действительную функцию [pic] назовем атомом, если существует обобщенный интервал [pic] такой, что а) [pic]; б) [pic]; в) [pic].
Атомом назовем также функцию [pic], [pic].
Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение: [pic], необходимо и достаточно, чтобы функция [pic] допускала представление в виде*)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.



Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки