Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: виды докладов, решебник 10 класс
Добавил(а) на сайт: Tatarincev.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 | Следующая страница реферата
Введем стандартизированные случайные величины [pic] — независимые с.в. с
нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть
[pic]есть их сумма [pic]. Требуется доказать, что
[pic]
Характеристическая функция величины [pic]равна
[pic]
Характеристическую функцию с.в. [pic]можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты [pic], [pic]. Получим
[pic]
Подставим это разложение, взятое в точке [pic], в равенство и устремим
[pic]к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:
[pic]
В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :
[pic]
распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.
Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что
функция распределения [pic]любого нормального закона непрерывна всюду на
[pic], утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.
Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.
. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
[pic]
. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
[pic]
. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
[pic]
. Если [pic] — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то
[pic]
Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.
Предельная теорема Муавра — Лапласа.
Пусть [pic] — событие, которое может произойти в любом из [pic]независимых испытаний с одной и той же вероятностью [pic]. Пусть [pic] — число осуществлений события [pic]в [pic]испытаниях. Тогда [pic].
Иначе говоря, для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение на тему образ, рынок реферат.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 | Следующая страница реферата