Цепные дроби
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: доклад по физике, реферати українською
Добавил(а) на сайт: Фонвизин.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 | Следующая страница реферата
[pic]
[pic]
, то есть равенство верно при k=n+1.
Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех
k([pic]).
2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима.
Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По
предыдущему свойству имеем [pic].
Пусть [pic], то есть [pic], тогда из равенства [pic] следует, что [pic]
делится на [pic] без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение
неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть [pic].
3. Теорема: При [pic]
1) [pic] ([pic])
2) [pic] ([pic])
Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства [pic], доказанного выше, путем деления обеих частей на [pic]. Получаем [pic]
[pic], что и требовалось доказать.
Докажем второе соотношение.
[pic]
[pic].
Теорема доказана полностью.
4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=[pic].
Доказательство: [pic], [pic], так что [pic] и [pic] положительны.
Соотношение [pic] ([pic]) (*) показывает, что и все следующие знаменатели
[pic], [pic], …, [pic] положительны. При [pic], поскольку тогда [pic], из
(*) получаем
[pic], что и требовалось доказать.
5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:
[pic];
[pic].
Две подходящие дроби [pic] и [pic], у которых номер отличается на
единицу, будем называть соседними.
6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.
Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:
[pic].
Если k – четное, то [pic]
[pic]
Если k – нечетное, то [pic]
[pic]
Значит, из двух соседних дробей [pic] и [pic] четная всегда больше
нечетной, что и требовалось доказать.
7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями [pic].
Доказательство: Так как [pic], то [pic], что и требовалось доказать.
Глава II. Бесконечные цепные дроби.
§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями.
1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.
В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного
выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь [pic]
разлагается в конечную непрерывную дробь.
[pic][pic] =([pic])
[pic] (1)
[pic]
и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной
дроби.
Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к
любому действительному числу.
Для иррационального числа [pic] указанный процесс должен быть
бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.
Выражение [pic] (где [pic], [pic]) (2)
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 | Следующая страница реферата