Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic] возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через ([pic]), а числа [pic] – ее элементами или неполными частными.
Отметим, что разложение [pic] возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части – процесс однозначный.
Рассмотрим пример разложения иррационального числа [pic].
Пусть [pic]. Выделим из [pic] его целую часть. [pic]=3, а дробную часть
[pic]–3, которая меньше 1, представим в виде [pic], где [pic].
Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:
[pic];
[pic];
[pic].
Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

[pic]
С другой стороны, из формулы для [pic] видно, что [pic]=3+[pic]. Поэтому
[pic], вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.
Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.
Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической.
Чисто периодическая дробь [pic] записывается в виде [pic], а смешанная периодическая [pic] в виде [pic].
Итак, [pic] разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6,
…) или (3, (3, 6)).
В общем случае разложения действительного иррационального числа [pic] поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь:

[pic] так что

[pic]

[pic]

[pic].
Числа [pic] называются остаточными числами порядка k разложения [pic]. В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа [pic].
Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.

[pic]
Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных [pic] и совершенно не зависит от того, является ли [pic] последним элементом или за ним следует еще элемент [pic]. Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.
В частности, мы имеем:

1) [pic], причем [pic];

2) [pic], откуда следует несократимость подходящих дробей [pic];

3) [pic].
Сравним теперь подходящую дробь [pic] и кусок разложения [pic] до остаточного числа [pic]. Имеем
[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic], откуда видно, что вычисление [pic] по [pic] формально производится таким же образом, как вычисление [pic] по [pic] с тем лишь отличием, что в первом случае [pic] заменяется на [pic], а во втором [pic] заменяется на [pic].
Поэтому на основании формулы [pic] можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения

[pic]. (5)
По этой причине мы пишем также [pic], хотя [pic] не является здесь целым положительным числом.
При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения [pic].

Теорема: Действительное число [pic] всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.
Доказательство: Из формулы (5) следует

[pic]
Но [pic], [pic], так что [pic]

1) ([pic]) и ([pic]) имеют одинаковый знак, а это значит, что [pic] находится между [pic] и [pic];

2) [pic], то есть [pic] ближе к [pic], чем к [pic].

Теорема доказана.

Так как [pic], то [pic], и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

1) [pic] больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;

2) подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального [pic] указанные последовательности являются бесконечными), то есть

[pic]

(в случае рационального [pic] [pic]).

————[pic]——[pic]————[pic]——[pic]———[pic]————

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Учитывая то, что при [pic] [pic], вследствие чего [pic], переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального [pic] сегменты [pic],
[pic], … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей [pic], [pic], … и [pic], [pic], … . Но так как [pic] принадлежит всем сегментам последовательности, то [pic] и совпадает с указанной точкой, так что [pic].
Итак, мы имеем следующий важный результат: бесконечная последовательность подходящих дробей [pic], которая возникает при разложении иррационального [pic], сходится к [pic], колеблясь около него. Или: иррациональное действительное [pic] равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки