АННОТАЦИЯ

В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………3

Основная часть………………………………………………....4

-формула прямоугольников………………………………....6

-формула трапеций…………………………………………..8

-формула Симпсона…………………………………………10

Практика……………………………………………………….15

Заключение…………………………………………………….19

Список литературы…………………………………………….20

ВВЕДЕНИЕ

Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций [pic] интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная [pic] может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией [pic]). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

I.Определение интеграла и его геометрический смысл.

В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций
F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается [pic].

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

[pic] (1) это формула Ньютона-Лейбница.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:

[pic]Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что ?=max?xi>0 (n>?) и при любом выборе точек[pic] интегральная сумма
?k=[pic]f(?i) ?xi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.[pic] limn>? ?k = lim?>0 [pic]f
(?i) ?xi=A(2).

Где ?хi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) ?=max?xi – начало разбиения [pic] произвольная точка из отрезка[xi-1;xi]

сумма всех произведений f(?i)?xi(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:

[pic]Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл [pic] численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=[pic]f(x)dx.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки