Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Векторное поле определено на мн-зии, если каждой точке мн-зия сопоставлен некоторый вектор, координаты которого меняются непрерывно от точки к точке. Векторные поля образуют бесконечномерное пр-во.

Теорема. На Mn(UА) существуют такие гладкие кривые x1(t),…, xn(t), что касательные вектора к ним образуют касательно пр-во в точке А.

Коммутатором (Производной Ли)векторных полей x и h в системе координат x1,…,xn  наз. векторное такое поле [x, h], что   [x,h]i =- i=1,…,n. Коммутатор – гладкое векторное поле, обладающее св-вами антикоммутативности ([u,v]=-[v,u]),  дистрибутивности и линейности в т.ч. [gv,hw]=gh[v,w] .

Неособой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой  векторное поле непрерывно и не обращается в нуль.

Особой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой нарушаются хотя бы одно из двух условий:1).в некоторой окрестности точки векторное поле непрерывно и  2) векторное поле не обращается в нуль в этой точке.

Невырожденной наз. такая особая точка векторного поля, что детерминант  в этой точке отличен от нуля, где xi  - координаты векторного поля x в системе координат (x1,…, xn).

Индексом особой точки векторного поля v(x), наз. знак детерминанта , где xi - координаты векторного поля x в системе координат (x1,…, xn).

Базисным наз.  такое векторное поле  на мн-зии, что вектора, соответствующие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на этой карте.

Голономными называются такие векторные поля v и  w, что [v,w]=0.

Теорема. Пусть a1,…,an – голономные л.н.з. поля, тогда локально они являются базисными.

Правильной для отображения  ¦ из мн-зия M1 в M2 наз. точка из исходного мн-зия M1, такая, что матрица Якоби в этой точке имеет максимальный ранг.

Регулярной точкой отображения из мн-зия M1 в M2 наз. такая точка из мн-зия M2,  что все точки из ее прообраза – правильные.

Степенью отображения в регулярной точке, прообраз которой состоит из конечного числа точек,  наз.  сумма знаков детерминантов отображений из прообразов регулярной точки в эту точку.

Числом вращения векторного поля в особой точке Р наз. степень отображения векторного поля на кривой, окружающей особую точку в единичную окружность по формуле ¦x (x 1,…,x n)=,  где x - векторное поле на мн-зии. Оно совпадает с индексом особой точки.

Сопряженным к пр-ву векторов V называют пр-во V* линейных вектор-функций, называемых ковекторами. Матрицей перехода от одной системы координат К другой является матрица, обратная к якобиану.

Гладкой гомотопией  отображения ¦ из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как  результат прямого произведения   гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с ¦(x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.

Гомотопными называются отображения ¦t(x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения  содержатся в ней.

Гомотопически эквивалентными называют такие два многообразия, что существуют гладкие отображения, переводящие одно в другое и наоборот, что их композиции гомотопны соответствующим тождественным отображениям.

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейная ф-я от p векторов и q ковекторов. У него np+q координат =T(e1,…,ep,E1,…,Eq).

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. объект, задаваемый в каждой система координат  набором чисел, преобразующихся при замене систем координат (x)®(x’) по закону:

= .

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейный функционал, заданный на мн-ии, аргументы к-го являются векторные поля.

Теорема. Эти определения тензора эквивалентны.

Теорема. Значение тензора на p векторах и q ковекторах инвариантно относительно системы координат.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: allbest, сочинение сказка.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки