![Рефераты | Рефераты по математике | Дифференциальная геометрия Рефераты | Рефераты по математике | Дифференциальная геометрия](/images/0/referatnatemu243.jpg)
Дифференциальная геометрия
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: новые конспекты, антикризисное управление предприятием
Добавил(а) на сайт: Dukachjov.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 | Следующая страница реферата
R(X,Y)Z=ÑxÑy(z)- ÑyÑx(z)- Ñ[x,y](z).
Кривизной по двумерному направлению X,Y называется число R(s)=(R(X,Y)X,Y), где X, Y – заданные векторные поля.
Теорема. Пусть M – двумерное риманово многообразие и K(P) – гауссова кривизна, тогда R(s)=K(P).
Коммутатором ковариантного дифференцирования тензора
наз. тензор [Ñk,Ñl](Ti)=Tq, где [Ñk, Ñl]
=(ÑkÑl - ÑlÑk), и T=(Ti)
– тензорное поле на заданном мн-зии.
Кососимметричным тензорным полем наз. такое тензорное
поле , что его компоненты меняют знак при транспонировании любых
двух соседних индексов одного типа.
Дивергенцией векторного поля по определению называют тензор
Div(Ti)=.
Внешним умножением кососимметричных тензоров j1 и j2 называется тензор j1^j2=(j1Äj2)alt. Оно линейно, антикоммутативно.
Св-во. Пусть j1 и j2 кососимметричные тензоры типа (p,0) и (q,0), тогда j2^j1=(-1)pqj1^j2.
Алгеброй дифференциальных форм Ù(Mn)
наз. алгебра, представителями которой являются линейные комбинации w(k)= и комбинации
где
–
кососимметричное тензорное поле ранга q и индексы j1…jq
упорядоченные в порядке возрастания.
Внешними дифференциальными формами называются элементы алгебры дифференциальных форм w(k). Они инвариантны относительно замены координат т.е.
.
Теорема. Многообразие ориентируемо титт, когда на нем задана диф. форма w, отличная от нуля во всех точках мн-я.
Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k
равна .
Rot(¦):=; Div(¦ ):=
.
Градиентом внешней формы w наз. внешняя д.ф. dw, компоненты которой в локальной системе координат (x1,…,xn) имеют вид:
=
. Grad(¦):=
.
Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:
1) d(w1Ùw2)=dw1Ùw2+w1 Ùdw2.
d(dw)=0.
Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.
Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.
Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества, на котором дифференциальная форма отлична от нуля.
Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой наз. такая д.ф., что она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.
Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: allbest, сочинение сказка.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 | Следующая страница реферата