Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

Из (4) следует, что , где N, а  при . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда  . Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд:  . Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем . Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что . Последнее равенство справедливо,  так как  . Далее, очевидно, , что и завершает доказательство.

На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет  случай изложенный во второй главе.

Глава 2.

Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет C. Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости  ( действительная часть числа x) ряд

                                                                                                                (1) сходится абсолютно.

Пусть . Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), . Первый множитель содержит только вещественные числа и , так как . Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим . Значит, . Ввиду сходимости ряда  при α>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд  мажорирует ряд из абсолютных величин , где , откуда, по теореме Вейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда  в полуплоскости . Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.

Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.

В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение , где s теперь любое комплексное число, такое, что . Применим его к доказательству отсутствия у функции  корней.

Оценим величину , используя свойство модуля : , где как обычно . Так как , то , а , следовательно, дзета-функция в нуль не обращается.

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и  однозначно определяющее .

Для этого нам понадобится формула

  (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать . Для любого d при  ,  значит  и , а . . Следовательно,   . Интеграл  можно найти интегрированием по частям, принимая , ; тогда , а . В результате  . Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим , отсюда легко следует равенство (2).

Теперь положим в (2) , , a и b – целые положительные числа. Тогда  . Пусть сначала , примем a=1, а b устремим к бесконечности. Получим . Прибавим по единице в обе части равенств:

                                                                        (3).

Выражение  является ограниченным, так как , а функция  абсолютно интегрируема на промежутке  при , то есть при , . Значит, интеграл  абсолютно сходится при , причём равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой . Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной s, регулярную при . Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость  и имеет там лишь один простой полюс в точке  с вычетом, равным единице.

Для  можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При  имеем , значит,  и. Теперь при  (3) может быть записано в виде .

Немного   более  сложными  рассуждениями  можно   установить,  что   в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость . Положим , а , то есть   первообразная для .  ограничена, так как , а интеграл   и   ограничен из-за того, что . Рассмотрим интеграл  при x1>x2 и . Проинтегрируем его по частям, приняв , , тогда , а по указанному выше утверждению . Получаем  . Возьмём , а . Имеем , ,  потому  что    является   ограниченной   функцией.   Значит,

                                                                         (4).

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла , если , и ограниченностью функции , делаем вывод, что в левой части равенства (4) интеграл тоже сходится при . Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой .

Нетрудно установить, что для отрицательных  , поэтому из (3) имеем

                                                                                        (5) при .

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо разложение в ряд

                                                                                     (6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: bestreferat ru, реферат современная россия.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки