Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны

нулю:

, .

Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум.

Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при ,

т. е.

.

Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит,

Что и требовалось доказать.

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции.

Уравнение касательной плоскости к поверхности :

для стационарной точки принимает вид .

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные

, . (*)

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат история развития, реферат на тему життя.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки