Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

Используя равенства a2 = b2 = e, abab = baba, можно упростить любое произведение, составленное из сомножителей a и b. Например, ababa = (baba) a = (bab) a2 = bab - симметрия c.

Коммутатор. Коммутант

Произведение aba-1b-1 называют коммутатором преобразований a и b. Обозначается [ab].

Если ab = ba, то коммутатор [ab] = aba-1b-1 = (ba)a-1b-1 = b(aa-1)b-1 = beb-1 = bb-1 = = e. Если преобразования a и b не перестановочны, то [ab] e.

Коммутаторы всех пар преобразований группы порождают группу, которая называется коммутантом группы.

Для коммутативной группы коммутант тривиален, он состоит из единицы группы. Таким образом, коммутант в некотором смысле является "мерой некоммутативности" группы.

Вычислим коммутант группы симметрий квадрата (G2). Чтобы не перебирать все пары, пойдем по такому пути, который будет использован в дальнейшем при исследовании группы симметрий куба.

С квадратом ABCD жестко свяжем два вектора e1, e2 (рис. 4). При любом преобразовании квадрата пара векторов (e1, e2) займет новое положение, обозначим его символом: ( ei,  ej) (i, j = 1,2; i  j). Имеется всего восемь символов:

( e1,  e2); ( e2,  e1).

Каждому преобразованию квадрата отвечает свой символ. Пример: тождественному преобразованию e - (e1, e2), центральной симметрии z - (-e1, -e2), симметриям b, c - (e2, e1), (-e1, e2), повороту r - (e2, -e1).

Способ умножения символов покажем на примере.

(-e1, e2) (-e2, -e1).

В первом преобразовании e1  -e1. Во втором преобразовании e1  -e2, тогда -e1  e2. Аналогично e2  e2  -e1. Окончательно (-e1, e2) (-e2, -e1) = (e2, -e1).

(e2, e1) (e2, -e1).

В первом преобразовании e1  e2, а во втором преобразовании e2  -e1. Аналогично e2  e1  e2. Окончательно (e2, e1) (e2, -e1) = (-e1, e2).

Упражнение. Проверьте, что

1. ( e1,  e2) ( ,  ) = (  ,   ),

2. ( e2,  e1) ( ,  ) = (  ,   ),

где ( ,  ) - символ любого из восьми преобразований квадрата.

Из этих примеров следует, что при умножении четного числа преобразований ( e2,  e1) в произведении получается символ с натуральным порядком индексов векторов, а при нечетном - получается символ с обратным порядком векторов. Число минусов в результате будет иметь такую же четность, как сумма числа минусов всех сомножителей.

Упражнение. Проверьте, что

1. ( e1,  e2)-1 = ( e1,  e2),

2. ( 2e2,  1e1)-1 = ( 1e2,  2e1), где  i =  1.

Отсюда вывод, что символ обратного преобразования имеет то же число минусов, что и данное, и такую же последовательность индексов.

Вернемся к коммутатору [ab] = aba-1b-1. С учетом следствий, вытекающих из предыдущих упражнений, число символов вида ( e2,  e1) в коммутаторе всегда четно. Отсюда следует, что в символе коммутатора индексы векторов идут в натуральном порядке и имеется либо два минуса, либо ни одного. А это значит, что коммутаторами группы симметрий квадрата могут быть только

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: тема здоровый образ жизни реферат, шпоры по философии.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки