Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию j (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур g с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и g. Согласно теореме Коши имеем :

По свойствам интегралов :

          (2 )

 Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве g окружность gr с радиусом r . Тогда:

           (3)

Уравнение окружности gr : z = Z0 + reij         (4)

Подставив (4) в (3) получим :

       ( 5 )

                                                                        

            ( 6 )

       

       (7)

Устремим  gr® 0, т.е. r® 0.

Тогда т.к. функция  f(z) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех e>0 существует r>0, что для всех z из r–окрестности точки Z0 выполняется | f(z) – f(Z0) | < e.

               (8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

Подставляя в ( 5)  и выражая f(Z0) имеем :

            (9)

Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(z) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре g , лежащем в области аналитичности функции f(z) и содержащем точку Z0 внутри.

Очевидно, что если бы функция f(z) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы g в формуле (9) можно было использовать контур С.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект урока 7 класс, реферат религия.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки