Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть

[pic]
Тогда

[pic]

В §3 доказываем:

[pic] (*)

В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем
§5.

В §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином tn , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn?

Если tn , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы [pic], необходимо и достаточно, чтобы [pic] равномерно относительно n. (fОHk[w], если [pic]).

Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы [pic] равномерно относительно n.

Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы [pic], необходимо и достаточно чтобы

[pic].

§6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.

Известно предложение: пусть

[pic][pic].
Тогда, если a не целое, r=[a], b=a-r, то f имеет нерперывную производную
[pic].

Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае

[pic].

Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 00 таких, что [pic] k-й симметричной разностью - величина

[pic] (1.4’)

Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство

[pic] (1.5)

Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k

[pic] то

[pic]
Лемма доказана.

Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:

[pic] (1.6)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: форма реферата, форма курсовой работы.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки