Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата



Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция

[pic] (1.11)
Ядро Фейера Fn(t) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства

[pic] (1.11’)

[pic] (1.11’’) где Dk(t)-ядра Дирихле.

Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция

[pic] (1.12)

Свойства ядер Джексона. а) При каждом n ядро Jn(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида

[pic], где jk=jk(n) - некоторые числа
[pic] б) [pic] в) [pic] г) [pic]

Доказательство. а) Учитывая, что для ядер Fn(t) Фейера имеют место равенства
[pic][pic] получим
[pic] где jk(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем
[pic]
Этим свойство а) доказано. б) Это равенство следует из равенства, полученного для j0. в) Так как [pic] при любом [pic] и [pic] при [pic] (**), то

[pic] г) Совершенно аналогично случаю в) получим

[pic]
Что и требовалось доказать.

Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция

[pic], (1.13) n=1,2,3,...,k-натуральное, где

[pic] (1.13’)

Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами: а) [pic] б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро Jn,k(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1) в) [pic][pic]n2k-1, т.е. существуют постоянные С14>0 и С15>0, такие, что при всех n=1,2,3,... будет

[pic] г) При любом s>0 имеет место неравенство

[pic] д) При любом натуральном [pic]

[pic][pic][pic]

Доказательство свойств ядер типа Джексона. а) Это свойство вытекает из равенств определения б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет

[pic] (1.14) где [pic] - некоторые целые числа. в) Учитывая неравенства (**), будем иметь

[pic](1.15)
С другой стороны

[pic] (1.15‘) г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)

[pic] д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)

[pic] (1.16) где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств
(**) и из неравенства sintЈt, при всех tі0 (***), имеем

[pic] (1.16‘)
A1-const. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: форма реферата, форма курсовой работы.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки