Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G есть подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку группы Н. Но для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если порядок группы G равен g, а h – делитель числа g, то обязательно ли группа G имеет подгруппу порядка h? Для доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу А4. Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.

Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка h, где h – делитель числа g, указывается в следующей теореме Силова.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если h=pn, где р – простое число, а n – положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка h.

Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы А4 равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа А4 содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4=22, но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.

1.6. ЗАДАЧИ

1. Описать все подгруппы симметрической группы S3.

Решение.

Порядок группы S3 равен 3!=6. из теоремы Лагранжа следует, что собственные подгруппы из S3 могут состоять из двух или трех перестановок.
Следовательно, подмножества S3, состоящие из четырех или пяти перестановок, подгрупп не образуют.

1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух перестановок.
Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент [pic], то есть [pic].

Элемент обратный к [pic] не может совпадать с Е, поэтому [pic].
Последнее равенство можно записать так: [pic], то есть Е=[pic].
Следовательно, а – перестановка второго порядка, то есть цикл длины 2.

Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы S3. эти подгруппы легко находятся с помощью таблицы Кэли. Это будут такие подмножества: [pic], [pic], [pic]. Легко убедиться, что подмножества
А, В и С действительно являются подгруппами группы S3, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.

Для подмножества А:

[pic]

[pic]

[pic]

Для подмножества В:

[pic]

[pic]

[pic]

Для подмножества С:

[pic]

[pic]

[pic]

2) Теперь опишем подгруппы, которые состоят из трех перестановок. Если
[pic] - такая подгруппа, то перестановки [pic] и [pic] должны иметь порядок
3. действительно, если одна из них, например [pic], имеет порядок 2, то
[pic]=[pic]-1. Пусть [pic], тогда [pic] и [pic]. Тогда [pic] Следовательно, получили противоречие, так как у нас [pic] и [pic] различны. Значит, [pic], то есть перестановка [pic] тоже будет иметь порядок 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Например, [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: деловое общение реферат, решебник 9 класс.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки