Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Первое общее решение уравнения первой степени , где  - целые числа, встречается у индийского мудреца Брахмагупты (ок. 625 г). Поэтому, строго говоря, нет оснований называть линейные неопределенные уравнения диофантовыми. Однако, исторически все же сложилось применять термин «диофантово», к любому уравнению, решаемому в целых числах.

В 1624 г. в публикуется книга французского математика Баше де Мезирьяка «Problẻmes plaisans et delectables que se font par les nombres». Баше де Мезирьяк для решения уравнения  фактически применяет процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей.

После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными давали Роль, Эйлер, Саундерсон и другие математики.

Цепные дроби к решению таких уравнений были применены Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это тот же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до него. Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с Гаусса. [2]

В августе 1900 г. в Париже состоялся II Международный конгресс математиков. 8 августа Д.Гильберт прочитал на нем доклад "Математические проблемы". Среди 23 проблем, решение которых (по мнению Д.Гильберта) совершенно необходимо было получить в наступающем XX в., десятую проблему он определил следующим образом:

"Пусть задано диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах". [7]

Гипотезу, что такого способа нет, первым выдвинул (с достаточным на то основанием) американский математик М.Дэвис в 1949 г. Доказательство этой гипотезы растянулось на 20 лет - последний шаг был сделан только в 1970 г. Юрием Владимировичем Матиясеевичем, на первом году аспирантуры он показал алгоритмическую неразрешимость 10 проблемы Гильберта.

Однако, если про произвольное диофантово уравнения нельзя сказать, имеет ли оно целые корни, или нет, то проблема существования целых корней ЛДУ решена. Приведем теоремы, пользуясь которыми всегда можно сказать, имеет ли целые решения данное ЛДУ или нет.

2. О числе решений ЛДУ.

Теорема 1. При взаимно простых коэффициентах  диофантово уравнение

имеет решение в целых числах.

Доказательство. Обозначим через множество тех положительных чисел , для которых уравнение

имеет решение в целых числах. , очевидно, не пусто, так как при заданных , можно подобрать целые значения , такие, чтобы  было положительным числом.

В множестве существует наименьшее число ( – подмножество натуральных чисел), которое мы обозначим через   Обозначим через  - целые числа, такие, что

.

Пусть , где ; тогда

.

Мы подобрали целые значения: , ,…, , такие, что , но , а  - наименьшее положительное число в , т. е.  не может быть положительным, , , .

Аналогично получаем: ,…,.

Мы видим, что  – общий делитель чисел , следовательно, поскольку , , , , то уравнение разрешимо в целых числах.

Теорема 2. Пусть  - наибольший общий делитель коэффициентов . Диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда . Число решений такого уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.

Докажем последовательно все три утверждения теоремы.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение тарас, курсовая работа по праву.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки