Математическая теория захватывания

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: диплом купить, культурология шпаргалки
Добавил(а) на сайт: Толбаев.

[pic]

[pic]будем искать в виде: [pic] (12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях
(, получим:

[pic]
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях (, получим

[pic]
Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

[pic](14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

[pic](15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

[pic]

S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). (1, (2 - характеристические показатели.
Если все [pic] , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

[pic]=0 (16) Полагаем [pic];

[pic]

Тогда определитель будет:

[pic]

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re ((), или что все равно ( (( . Если ( (( < 1 имеет место устойчивость ( (( = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ( ((> 1 имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае
(-комплексные; ((2 (=q; (20) если q1 - неустойчивость.
Случай второй - ( - действительные: [pic] ; (21) устойчивость соответствует
[pic] p и q нетрудно получить в виде рядов по степени ( из формул (19)
(12).

[pic](22)
Если принять во внимание (15)

[pic](22a)

[pic](23)

Мы видим, что при достаточно малом ( и ((n; n ( Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
[pic] (23a)

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда ((((о; (2 = 1+ aо (, (24) (aо , ( - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо ( 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

[pic] (25)

При ( = 0 периодическое решение будет иметь вид : [pic](26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

[pic] (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

[pic]

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки