Место аналогии в обучении математике в школе

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат на тему, курсовые работы
Добавил(а) на сайт: Ольховский.

Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата

Для большей наглядности приведем основные используемые понятия в виде таблицы.

На внеклассных занятиях со старшеклассниками и занятиях по методике всячески практикуют “выходы в пространство”, использующие аналогию геометрических понятий. Школьники получают большое удовольствие, обнаруживая невидимые ранее связи. Причем не ограничиваются обсуждением доказательств теорем, но часто разбираются подобные теоремы, переформулируя их как задачи на построение. Для наглядной демонстрации подобной работы вновь следует обратиться к приведенным выше прямым и окружностям Эйлера.

В качестве наиболее простой задачи предлагается рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник и перенести полученные результаты на равнобедренный прямоугольный тетраэдр. Чтобы облегчить оформление рисунков и формулировку получаемых утверждений при обобщении обеих теорем Эйлера на пространство, рекомендуем выполнить рядом два рисунка, ввести аналогичные обозначения и постоянно сравнивать “плоские” и “пространственные” результаты. Причем, обнаружив и доказав какое-либо утверждение для плоского случая необходимо тут же стремиться отыскать его аналог для пространства.

В качестве домашнего задания учащимся предлагается проверить теоремы
Эйлера с помощью построений на произвольном треугольнике и попытаться аналогично приведенным выше рассуждениям вывести утверждения для произвольного ортоцентрического тетраэдра.

На последующих занятиях можно провести обобщение плоского случая на пространственный с помощью метода координат.

Обращаясь вновь к рассматриваемому выше треугольнику, можно ввести координаты так, что точка А1 будет иметь координаты (0; 0), точка А1 (4;0), точка А3 (0;4), тогда координаты остальных точек: М1 (2; 2), М2 (0; 2), М3
(2; 0), Ц (4/3;43). Выведем уравнение окружности, проходящей через точки
А1, М2 и М3 (для определения окружности достаточно трех точек) в виде (x- a)2+(y-b)2=R2. Тогда:

(0-a)2+(0-b)2=R2(a2+b2=R2,

(0-a)2+(2-b)2=R2(a2+4-4b+b2=R2,

(2-a)2+(0-b)2=R2(4-4a+a2+b2=R2.

Из этой системы трех уравнений получаем a=1, b=1, R=(2 и уравнение окружности: (x-1)2+(y-1)2=2. Непосредственной подстановкой координат точки
М1 в полученное уравнение убеждаемся, что точка М1 принадлежит окружности.

Аналогично для пространства. Введем пространственные координаты так, чтобы точка А1 имела координаты (0; 0; 0), точка А2 (6; 0; 0), точка А3 (0;
0; 6), точка А4 (0; 6; 0). Тогда координаты остальных точек - М1 (2; 2; 2),
М2 (0; 2; 2), М3 (2; 2; 0), М4 (2; 0; 2), Ц (3/2; 3/2; 3/2). Выведем уравнение окружности, походящей через точки А1, М1, М2 и М3 (для определения сферы нужно уже четыре точки). Уравнение сферы будет иметь вид
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=3.Принадлежность остальных точек этой сферы можно легко проверить простой подстановкой координат в уравнение.

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Не менее полезно воспитывать у школьников привычку сознательно привлекать аналогию при поиске способов решения предложенной им трудной задачи. В этом случае можно рекомендовать им следующий план работы над задачей.

1. Подобрать задачу, аналогичную данной, т. е. такую, у которой имелись бы, по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение; вспомогательная задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно.

2. Решить вспомогательную задачу; затем провести аналогичные рассуждения при решении данной задачи.

Например, к аналогии с планиметрическими задачами полезно обращаться при решении стереометрических задач.

При этом полезно, чтобы школьник пытался (если это возможно) самостоятельно сформулировать и решить аналогичную планиметрическую задачу.
Рассмотрим, например, задачу: «На сколько частей могут разделить пространство четыре произвольно расположенные плоскости?»

Четыре плоскости определяют тетраэдр. Эта фигура напоминает нам 3 пересекающиеся прямые на плоскости.

Естественно возникает вспомогательная задача, аналогичная данной: «На сколько частей могут разделить плоскость 3 произвольные прямые?».

Решим сначала вспомогательную задачу (рис.11). В общем случае три прямые могут разделить плоскость на 7 частей, одна из них ограничена
(внутренняя область треугольника), а другие, неограниченные части плоскости
(таких 6) имеют с внутренней областью общую границу по стороне треугольника или по продолжению его сторон. В этом случае плоскость оказывается разделенной всего на 1+3+3=7 частей.

Теперь приступим к решению основной задачи (рис.12).

В общем случае, 4 плоскости могут разделить пространство на следующие части: одна из них ограничена – внутренняя область тетраэдра; неограниченные части пространства имеют общую границу с внутренней областью по грани тетраэдра (4 части), или по его ребру (6 частей), или по плоскостям, проходящим через его вершины (еще 4 части).

В этом случае пространство оказывается разделенным всего на
1+4+6+4=15 частей.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпаргалки по философии, сжатое изложение.

Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата

Рефераты | Рефераты по математике | Место аналогии в обучении математике в школе

Место аналогии в обучении математике в школе

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки

Категории:

Разделы сайта