Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число  бинарной квадратичной формы

Предположим, что  собственно или несобственно эквивалентна форме . Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа  с определителем , при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:

Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Допустим, что формы  и  эквивалентны. Значит, есть унимодулярная целочисленная подстановка переменных:

,

тогда

Предположим , значит:

,

Таким образом, форма  — это есть число . В связи с тем, что отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм имеет свойство симметричности, значит, любое число, которое выглядит, как  можно заменить на .

Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.

Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для целого числа  при некоторых целых  и , а также для квадратичной формы  выполняется равенство , значит, квадратичная форма  представляет число .

Множество всех бинарных квадратичных форм эквивалентных форме  называют классом  форм.

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта , бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма  дискриминанта  называется определенной, если  и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при  бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при  и отрицательные при ), а при  она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм, и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем предполагать, что крайние коэффициенты  и  формы  отличны от нуля и корни уравнения  вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень  этого уравнения первым, а — вторым корнем формы  (см. [1]), причем  есть дискриминант формы .

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

 с корнями  называется приведенной, если .

Покажем, что у приведенной формы  выполняются неравенства , , причем  и  заключаются между  и . В самом деле, из условия  получаем

,

, ,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: ответы по математике, как написать дипломную работу.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки