Операторы в вейвлетном базисе
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: quality assurance design patterns системный анализ, конспект
Добавил(а) на сайт: Мелентий.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 | Следующая страница реферата
В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с
проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной
компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными
колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные
преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком
окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания
одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных
диапазонов частот использовались временные окна различной длительности.
Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по
времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) -
компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer),
Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane
Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.
Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.
1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ
Определение 1. Многомасштабный анализ (multiresolutional analysis) – разложение гильбертова пространства L2(Rd), d(1, в последовательность замкнутых подпространств
[pic],
(1.1)
обладающих следующими свойствами:
1. [pic], и [pic] полно в L2(Rd),
2. Для любого f( L2(Rd), для любого j( Z, f(x)(Vj тогда и только
тогда, когда
f(2x) (Vj-1,
3. Для любого f( L2(Rd), для любого k( Zd, f(x)(V0 тогда и только
тогда, когда f(x-k)(V0,
4. Существует масштабирующая (scaling) функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd
образует
базис Ритца в V0.
Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:
4’. Существует масштабирующая функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd образует ортонормальный базис в V0.
Определим подпространство Wj как ортогональное дополнение к Vj в Vj-1,
[pic],
(1.2) и представим пространство L2(Rd) в виде прямой суммы
[pic]
(1.3)
Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:
[pic]
(1.4) и получить
[pic]
(1.5)
Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать
[pic], V0( L2(Rd)
(1.6) вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно.
Функция ( - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию ( - вейвлет - такую, что набор {((x- k)}k(Z образует ортонормальный базис в W0. Тогда
[pic], m=0..M-1.
(1.7)
Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция ( может
быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства
V-1 . Так как функции {(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z образуют
ортонормальный базис в Vj, то имеем
[pic].
(1.8)
Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно
переписать (1.8) в виде
[pic],
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, изложение по русскому 7 класс.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 | Следующая страница реферата