Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

Теорема 4. Неравенство вида [pic]равносильно совокупности двух систем неравенств
[pic]

[pic]

Неравенства вида [pic], [pic], [pic], [pic]являются частными случаями рассмотренных выше неравенств, когда [pic].
Пример 1. Решим неравенство

[pic]
Решение. Заданное неравенство - неравенство вида (3), поэтому по теореме 1 оно равносильно системе неравенств:
[pic] [pic]

Так как квадратный трехчлен [pic]имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях
[pic]. Поэтому решения последней системы таковы: [pic].
Ответ: [pic]

Пример 2. Решить неравенство

[pic]
Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем неравенств
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.
Решение первой системы:

Второй:

Получаем совокупность [pic]
Ответ: [pic]и [pic].

Пример 3. Решить неравенство

[pic]

Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе
[pic] [pic] [pic]
Последнее неравенство системы выполняется всегда. если [pic]и [pic].
Итак, решением неравенства является [pic]исключая [pic].
Ответ: [pic].
II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. [pic]. Решение также проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
При [pic]при возведении в степень [pic]знак не изменится, т.к. [pic],
[pic]. Значит [pic]при [pic].
[pic]может быть любое, т.к. под знаком радикала нечетной степени может стоять как отрицательная, так и положительная функция.
Пример 4. Решить неравенство

[pic]
Решение. Возведем в куб обе части неравенства:

[pic] или

[pic]

[pic]

[pic]
Решим полученное неравенство методом интервалов

Ответ: [pic].
5. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов четной степени

Пусть дано иррациональное неравенство

[pic](1)

В неравенстве (1) левые и правые части положительные, поэтому при возведении в четную степень эквивалентность не нарушается, если подкоренные выражения будут неотрицательны. Поэтому имеют место следующие эквивалентные преобразования:
[pic] [pic] (2)
[pic] [pic](3)
Пример 1. Решить неравенство

[pic]
Решение. Заменим данное неравенство эквивалентной системой неравенств
[pic] и далее
[pic] откуда получаем решение неравенства [pic].
Ответ: [pic].
Пример 2. Решить неравенство

[pic]
Решение. Предварительно упростим данное неравенство. умножив его на положительное выражение [pic](т.к. мы рассматриваем всегда [pic]).
Проведем затем эквивалентные преобразования:

[pic] или

[pic] заменяем неравенство равносильной системой неравенств:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.



Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки