Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: сочинение евгений онегин, шпоры на экзамен
Добавил(а) на сайт: Макаркин.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата
2. Исследовать функцию на четность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Определить промежутки знакопостоянства.
6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.
7. Исследовать функцию на экстремум.
8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.
9. Используя все полученные результаты ,построить график функции.
Пример 1. Построить график функции y= x4-2 x2-8.
Решение. 1.Функция определена при любом значении x,т.е. D=(f)=R.
2. Так как область определения функции - симметричное множество и f(-
x)=f(x),то функция четна .Следовательно график функции симметричен
относительно оси Оy и для дальнейшего исследования можно ограничится
промежутком [0,+ ]. Но в данном примере мы этого делать не будем.
3Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение x4- x2-8=0. Пологая u= x2,получим квадратное уравнение u2- u-8=0. Пологая u= x2, получим квадратное уравнение u2- u-8=0, имеющее корни 4 и –2. Из уравнения x2=4 находим х=2, х=-2, уравнение x2=-2 не имеет решений. Мы нашли две точки пересечения с осью Ох:(2;0) и (-
2;0).
С осью Оу график функции пересекается в точке(0;-8).
5. Найдем интервалы знакопостоянства функции.
Заданная функция не прерывна на всей числовой прямой обращается в 0 в точках 2 и –2. Значит, в промежутках (- ,-2). (-2;2) и (2; ) она сохраняет постоянный знак Чтобы определить знак функции на каждом из указанных промежутков, достаточно взять по одной “пробной” точке из каждого промежутка.
Имеем –100 (- ,2), f(-100)=(-100)4-2(-100)2-8>0. Значит, f(x)>0 в
промежутке (- ; -2). Далее, 0?(-2; 2), f(0)=-80, а потом f(x)>0 в промежутке
(2; + ).
На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечены известные точки(0; -8), (2; 0), (-2; 0). Это – ответ на вопрос, где расположен график. Дальнейшее исследование позволяет ответить на вопрос, как строить график.
6) Изучим поведение функции вблизи границ области определения.
Поскольку D(f)=(- ; + ), такими «границами»можно считать - и + .
преобразовав выражение x4-2x2-8 к виду x2-( x2-2-8/ x2), замечаем, что
если х>- или х>+ , то у>+ .
Асимптот график не имеет.
7) Исследуем функцию на экстремум; имеем
y’=4 x3-4x=4x(x-1)(x+1)
Прировняв производную нулю, находим три корня: 0, 1, -1. Эти точки
разбивают числовую прямую на промежутки (- ; -1), (-1;0), (0;1), (1; + ).
Если х>1, то у'>0, а в остальных промежутках знаки чередуются справа на
лево, смотри рисунок.
Составим таблицу:
|x |- 0при любых х. Значит на луче (0; + ) функция возрастает и экстремумов не имеет.
8. Составим таблицу значения функции:
|x |1 |0.5 |0.25 |2 |3 |4 |
|y |0 |-1.5 |-3.75 |1.5 |2.67 |3.75 |
9. отметив найденные точки на координатной плоскости и учитывая результаты исследования, строим ветвь графика при х>0, смотри рисунок.
Т.к. график функции y=(x2-1)/x, симметричен относительно начала координат, то добавив к построенной ветви симметричную ей относительно начала координат, получим искомый график.
10. Глава 3. ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИЙ В
ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: защита реферата, дипломная работа совершенствование.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата