Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: доклад по обж, конспект урока по математике
Добавил(а) на сайт: Viviana.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата
Нехай дано рівняння
[pic] (1.1)
Треба знайти розв’язок цього рівняння в області D(рис. 1)
[pic] якщо задані крайові умови u(x0, t) = ((t); u(x, t0) = ((x), (1.2) при цьому функції ((t) та ((x) ддиференцьовані, та задовільнюють умові спряження
((t0) = ((x0).
Така задача називається задачею з даними на характкристиках, або задачею
Гурса.
D
Рис. 1
§2. Приведення до канонічного вигляду
гіперболічного рівняння другого порядку
з двома незалежними змінними. Характеристики.
Розглянемо рівняння другого порядку з двома незалежними змінними
[pic], (2.1) де коефіцієнти А, В та С – функції від x та y, які мають неперервні похідні до другого порядку включно у області (( R. За допомогою перетворення змінних
( = ((х, у), ( = ((х, у), яке припускає обернене перетворення, ми отримуємо нове рівняння, еквівалентне рівнянню (2.1). При цьому будемо мати
[pic]
(2.2) підставляючи значення похідних з(2.2) в (2.1), будемо мати:
[pic], (2.3) де
[pic], а функція [pic] не залежить від других похідних. Замітимо, що якщо рівняння
(2.1) було лінійно, то й рівняння (2.3) буде лінійним.
Рівняння (2.1) пов’язано з рівнянням:
Аdy2+2Вdydx+Сdx2=0 (2.4)
яке має назву рівнянням характеристичних змінних, а його інтеграли – характеристиками для рівняння (2.1).
(2.5)
Нехай ((x,y)=const є загальним інтегралом рівняння (2.4), тоді покладемо (=((x,y) і коефіцієнт [pic] буде дорівнювати нулю, якщо ((x,y)= const другий, відмінний від першого інтеграл, то заміною (=((x,y) ми доб’ємось, щоб [pic]=0.
Як видно з формули (2.5), рівняння (2.4) може мати різні розв’язки, один розв’язок або не мати розв’язків взагалі в залежності від знаку В2–АС.
Рівняння (2.1) у деякій точці М(x,y) будемо називати:
1) рівнянням гіперболічного типу, якщо В2–АС>0;
2) рівнянням параболічного типу, якщо В2–АС=0;
3) рівнянням параболічного типу, якщо В2–АС(0.
Відмітимо, що при довільній заміні змінних (2.2) виконується рівність
[pic] тобто при будь – якому перетворенні змінних, у якого якобіан відмінний від нуля, тип рівняння (2.1) не змінюється.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: компьютер реферат, шпаргалки по менеджменту.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата