Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем                 |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо.     Ответ:(-2;2)

II)Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения  гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

 Пример1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

 Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u  y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a|  расположена под прямой y=b.

Ответ:Если b<=2|a| , то решений нет,

             Если b>2|a|, то x ?(-b/2;b/2).

  III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

                        sin x<a, sin x<=a.

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке  решений числа вида 2πп, пЄZ.

          Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<=x<7π/, то sin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для  x Є[7π/6;3π/2] имеем sin x<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение на тему онегин, решебник по русскому.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки