
Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: bestreferat, собрание сочинений
Добавил(а) на сайт: Korzhakov.
1 2 3 | Следующая страница реферата
Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана
С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В
1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана
алгебры
выполнено
равенство
где
-
ортогональная проекция (относительно формы Киллинга);
- группа Вейля
алгебры
,
означает
выпуклую оболочку множества A.
Теорема
Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и
Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ эрмитовой
матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами
содержится в
выпуклой оболочке множества
, где Sn -
симметрическая группа, действующая на
перестановками
координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может
быть получена таким способом.
Таким
образом, проекция орбиты - это выпуклый
многогранник с вершинами в точках
. В 1982 г.
Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы
Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный
шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана.
Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа
проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но
представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения
проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения
Пусть
-
конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли,
- ее
подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры
действует на
с помощью
коприсоединенного представления
:
, где
,
. Определим
орбиту элемента
:
На
каждой орбите существует
единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера
, т.е. такая, что для любой непрерывной функции
и для любого
Пусть
ортогональная
проекция. Определим проекцию меры
на
- это мера
, задаваемая
соотношением:
где
- финитная
непрерывная функция на
. Мера
абсолютно
непрерывна и
, где
- плотность
проекции меры
. Нахождению
плотности
и посвящена
эта статья.
Введем
некоторые обозначения: - система
корней алгебры
,
- множество
положительных корней,
- их
полусумма. Пусть
- решетка
весов алгебры
, кроме того, пусть
обозначает
множество
, где
- камера
Вейля.
представляет
собой множество всех старших весов
. Каждому
неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес
. Если
- характер
этого представления, то формула Кириллова утверждает, что
где
Интеграл
в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование
Фурье от функции :
Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:
или
Пусть
неприводимое
представление
. Обозначим
множество весов
как
. Если
, то
обозначает
кратность веса
в
представлении
. Известно, что
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат на тему образование, виды понятий реферат.
1 2 3 | Следующая страница реферата