Рациональные уравнения и неравенства
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат по экологии, реферат н
Добавил(а) на сайт: Smirnov.
Предыдущая страница реферата | 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 | Следующая страница реферата
1) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2) Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Ответ к задаче «решить уравнение с параметрами» должен выглядеть
следующим образом: уравнение при таких(то значениях параметров имеет корни
…, при таких(то значениях параметров — корни …, при остальных значениях
параметров уравнение корней не имеет.
Пример 10.42. Решим уравнение px = 6 с неизвестным x и параметром p.
Если p ( 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы
находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не
имеет, потому что 0(x = 0 для любого x.
Ответ: при p ( 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0 уравнение корней не имеет.
Пример 10.43. Сравнить: (a и 3a.
Решение. Естественно рассмотреть три случая:
Если a < 0, то (a > 3a;
Если a = 0, то (a = 3a;
0, то (a < 3a.Пример 10.44. Решить уравнения ax = 1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = 1 / a. Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a ( 0, то x = 1 / a.
Пример 10.45. Решить уравнение (a2 ( 1)x = a + 1.
Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно рассмотреть такие случаи:
1) a = 1; тогда уравнение принимает вил 0x = 2 и не имеет решений;
2) a = (1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.
3) a ( (1; имеем x = 1 / (a ( 1).
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, мы считаем целесобразным привести
Ответ: Если a = (1, то x — любое число; a = 1, то нет решений; если a
( (1, то x = 1 / (a ( 1).
Пример 10.46. При каких a уравнение ax2 ( x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку:
считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени, не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет
единственное решение. Если же a ( 0, то имеем дело с квадратным уравнением.
Его дискриминант 1 ( 12a принимает значение, равное нулю, при a =
1 / 12.
Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.
Пример 10.47. при каких a уравнение (a ( 2)x2 + (4 ( 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2
исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a ( 2, то данное уравнение
— квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни
дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5.
Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то
Ответ: a = 5.
Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более, ели они уже решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах проявляет своё «коварство», особенно для начинающих. Поэтому полезно рассмотреть ещё несколько примеров, где параметр «расставляет ловушки».
Пример 10.48. При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a(0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 ( 4a2 ( 12a — положительный. Отсюда получаем (4
Ответ: (4
Пример 10.49. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x ( 3a ( 9 =
0 имеет более одного корня?
= 0, а в ответ не забыть включить a = (3.
Ответ: a = (3 или (1 / 3 0.
Пример 10.50. При каких значениях a уравнение (x2 ( ax + 1) / (x + 3)
= 0 имеет единственное решение?
Решение. Данное уравнение равносильно системе
x2 ( ax + 1 = 0, x ( (3.
Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие x
( (3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что
квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только
один из них должен равняться (3. Имеем D = a2 ( 4, отсюда D = 0, если a =
(2; x = (3 — корень уравнения x2 ( ax + 1 = 0 при a = (10 / 3, причём при
таком значении a второй корень квадратного уравнения отличен от (3.
Ответ: a = (2 или a = ( 10 / 3.
Пример 10.51. При каких a уравнение ax2 = a2 равносильно неравенству
(x ( 3( ( a?
Решение. При a ( 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство
— бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и
неравенства является всё множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a = 0.
Ответ: a = 0.
Пример 10.52. Решить уравнение с параметрами
(a2 ( 9)x = a2 + 2a ( 3.
Решение. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:
(a ( 3)(a + 3)x = (a + 3)(a ( 1).
Если a = (3, то уравнение принимает вид: 0x = 0. Отсюда следует, что
при x ( R, т.е. решением уравнения является любое действительное
число. Если a ( (3, то уравнение принимает вид: (a (3)x = a (1.При a = 3
имеем 0x = 2. Уравнение решения не имеет. При a ( (3 имеем x = (a ( 1) / (a
( 3). Уравнение имеет единственное решение (например, x = 3 при a = 4, x = 3 / 5 при a= ( 2 и т.д.)
Ответ: a = (3, x ( R; a = 3, x ( (; a ( (3, x = (a ( 1) / (a ( 3).
Пример 10.53.
(x ( 4) / (x + 1) ( 1 / a(x + 1) = (2 / a.
Решение. Очевидно, (x + 1)a ( 0, т.е. x ( (1, a ( 0. Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на a(x + 1) ( 0:
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, курсовые работы.
Предыдущая страница реферата | 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 | Следующая страница реферата