Рациональные уравнения и неравенства
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат по экологии, реферат н
Добавил(а) на сайт: Smirnov.
Предыдущая страница реферата | 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 | Следующая страница реферата
Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде
х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.
Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть записано в виде
х(х –1)(х + 2)2 > 0. (**)
Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.
Будем двигаться по оси Ох справа налево. При переходе через точку х =
1 многочлен Р4(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х
= 1 ( простой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0
многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х =
0 ( также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака
не меняет, так как х = -2 ( корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства
многочлена Р4 (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот
рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.
Ответ. х ( (-(; -2) ( (-2; 0) ( (1; ().
Пример: Решить неравенство
(х2 – 3х – 2)(х2 – 3х + 1) < 10.
Решение: Пусть х2 – 3х – 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10, или y2 + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал –5 0,
откуда
(x – 4)(x + 1) < 0,
(x + )2 + > 0.
Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).
Ответ: (-1; 4).
Пример: Решить неравенство
х4 – 34х2 + 225 < 0.
Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х4 – 34х2 + 225 < 0. Полагая х2 = z, получаем квадратное уравнение z2 – 34z + 225 = 0, из которого
находим: z1 = 9 и z2 = 25. Решая уравнения х2 = 9 и х2 = 25, получаем 4
корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит, х4 – 34х2 + 225 = (х +
5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид:
(х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.
Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую
знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и
(3; 5).
Ответ: (-5; -3)((3; 5).
Пример: Решить неравенство
х4 – 3 < 2х(2х2 – х – 2).
Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство
х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 < 0.
Решая уравнение х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 = 0, находим корни х1 = -1, х2,3 = 1, х4 = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде
(х – 1) 2(х + 1)(х – 3) < 0.
Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на
каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного
неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков
(достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на
промежутках (-1; 1) и (1; 3).
Так как неравенство строгое, то числа –1, 1, 3 не входят в решение неравенства.
Ответ: (-1; 1)((1; 3).
Дробно-рациональные неравенства.
Решение рационального неравенства
> 0 (5)
где Рn(х) и Qm(х) ( многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство
Рn(х) ( Qm(x) > 0,
эквивалентное неравенству (5).
Дробно-линейным называется неравенство вида
> k
где a, b, c, d, k ( некоторые действительные числа и с ( 0, ( (если с =
0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, если =
неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам
относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки (х + 2(.
(**)
Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство
6х < -3,
т.е. х < -1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х ( -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех х((-(; -2)((-2; -1/2).
Ответ: (-(; -2)((-2; -1/2).
Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
> 1.
Решение: Так как (х +1( ( 0 и, по условию, (х +1( ( 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > (х +1(. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5, или
, откуда
Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х ( -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.
Ответ: 0.
Пример: Решить неравенство:
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, курсовые работы.
Предыдущая страница реферата | 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 | Следующая страница реферата