Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат мова, ответы 5 класс
Добавил(а) на сайт: Zhidkov.

[pic]

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

[pic] непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [pic], который содержит внутри себя точку [pic]. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

[pic] [pic]i = 0, 1, 2 …

Если график функции [pic] проходит в области Г, то функция [pic] определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция [pic], нужно, чтобы и график функции [pic] проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок [pic]достаточно коротким.
Далее, за счет уменьшения длины отрезка [pic], можно достичь того, чтобы для последовательности [pic] выполнялись неравенства:

[pic], i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

[pic], i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим [pic], например, на [pic]. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

[pic]

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется [pic], что также совершенно очевидно. А так как последовательность [pic] сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список использованной литературы

1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.:

Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.:

Интеграл-Пресс, 1998

3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука.

Физматлит, 1998

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки