Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных аксиомах теории вероятностей и многократно подтвержден на практике.
Пусть некоторая случайная величина х* является суммой случайных величин
[pic]
[pic] (10.4)

тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий
Е(х[pic])
[pic] (10.5)

11.Дисперсия случайной величины.

Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое определяется по формуле
D(x)=E(x–E(x))[pic] (11.1)

Поэтому дисперсия D(x) случайной величины х, которая может принимать значения [pic] с вероятностями Р[pic],…Р[pic] определяется, как число i=k i=k j=k

D(x)=S(x[pic]–E(x))[pic]?P[pic]=S(x[pic]–[pic])[pic]?P[pic]

(11.2) i=1 i=1 j=1

Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем следующее число

D(x)=[pic]=(1/6)?((1-7/2)[pic]+(2-7/2)[pic]+(3-7/2)[pic]+(4-7/2)[pic]+(5-
7/2)[pic]+(6-
7/2)[pic])=(1/6)?(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)?(35/2)=35/12 (11.3)

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных величин [pic]. Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины [pic] не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины [pic]. Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является суммой дисперсии случайных величин [pic]
[pic][pic] (11.4)

Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.
12.Закон больших чисел.

В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву.
Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения [pic] случайной величины х, для которых выполняется условие

[pic] (12.1)

Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее неравенство

[pic]Р[pic][pic]Р[pic][pic]Р[pic] (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых выполнено неравенство.

Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины [pic]. Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы
[pic] (12.3) этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство
[pic]Р[pic]
·Р[pic] (12.4)

Так как случайные величины [pic] независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии [pic] равны друг другу [pic] и все математические ожидания [pic] тоже равны друг другу [pic]. Поэтому из
(12.4) получаем неравенство

[pic]Р[pic] (12.5)

Введем число ?=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

Р[pic] (12.6)

Отсюда для противоположного события

[pic] (12.7)

из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева

Р[pic] (12.8)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение на родине ломоносова, решебник по русскому языку.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки