Рефераты | Рефераты по математике | Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней |
Согласно нашему предположению (посылка индукции), для нахождения значений параметров b1, b2, ..., b2k, превращающих многочлен pk(x) из (7.k) в многочлен f (x) с данными коэффициентами a1, a2, ..., a2k нам достаточно найти такой многочлен pk–1(x) (точнее, его коэффициенты A1, A2, ..., A2k–2 — см. (II)) и такие значения параметров b2k–1, b2k, чтобы после их подстановки в (III) выполнялось тождество pk(x) = f (x). Перемножив многочлены в правой части равенства (III) и приравняв коэффициенты полученного многочлена и многочлена f (x) = xk + a1xk–1 + ... + a2k, мы сможем выписать систему 2k уравнений с неизвестными A1, A2, ..., A2k–2, b2k–1, b2k, (a1, ..., a2k заданы, b1 находится из равенства (I)); чтобы сократить запись формул, заменим параметр b2k–1 символом b:
|
|
a1 = A1 + b1, a2 = A2 + b1·A1 + b, a3 = A3 + b1·A2 + b·A1, . . . . . . . . . . a2k–2 = A2k–2 + b1·A2k–3 + b·A2k–4, a2k–1 = b1·A2k–2 + b·A2k–3, a2k = b1·A2k–2 + b2k. |
(IV) |
Условимся обозначать уравнение системы (IV) с номером j (1≤j≤2k) через (IV)-j. Тогда процесс решения системы (IV) можно описать в нескольких словах: A1 выражается через a1 из (IV)-1 и (I), A2 выражается через a1, a2 и b из (IV)-2, A3 выражается через a1, a2, a3 и b из (IV)-3 и т.д. Последним из уравнения (IV)-(2k–2) мы выразим неизвестное A2k–2; затем, подставив в уравнение (IV)-(2k–1) найденные выражения для A2k–2 и A2k–3, мы получим уравнение относительно b.
Лемма 2. Неизвестные A2j–1 и A2j выражаются из системы (IV) через параметр b и коэффициенты a1, a2, ..., a2k–2; согласно формулам (b1 выражается через a1 согласно (I))
|
A2j–1 = (–1) j–1[(k – j)b1 + 1]b j–1 + + S1, j(a1, a2, a3)b j–2 + ... + Sj–1, j(a1, a2, ..., a2j–1), |
(V) |
|
A2j = (–1) jb j + T1, j(a1, a2)b j–1 + ... + Tj, j(a1, a2, ..., a2j). |
(VI) |
Доказательство. База индукции: j=1, A1 = a1 – b1 = [(k – 1)b1 + 1]b, A2 = –b + T1,1(a1, a2).
Посылка индукции — формулы (V), (VI) при 1≤j<k–1.
Шаг индукции:
|
(a) |
A2j+1 = –bA2j–1 – b1A2j + a2j+1 = = (–1) j[(k – j)b1 + 1]b j – S1, j(a1, a2, a3)b j–1 – ... – – b1(–1) jb j – b1T1, j(a1, a2)b j–1 – ... + a2j+1 = = (–1) j[(k – j – 1)b1 + 1]b j + S1, j+1(a1, a2, a3)b j–1 + ... ; Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные курсовые работы, банк курсовых. Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладкиКатегории: |
