Содержание.

1. Введение. Постановка задачи……..…………………………2стр.

2. Вывод формулы……………………………………………….3стр.

3. Дополнительный член в формуле прямоугольников……….5стр.

4. Примеры………………………………………………………..7стр.

5. Заключение……………………………………………………..9стр.

6. Список литературы…………………………………………...10стр.

Постановка задачи.

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.
Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными.

Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл [pic] при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

Вывод формулы прямоугольников.

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:
З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а
[pic] - некоторые точки сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка [pic] такая, что среднее арифметическое [pic][pic][pic].

В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства [pic].
Просуммировав эти неравенства по всем номерам [pic] и поделив результат на n, получим

[pic]

Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка [pic] такая, что

[pic][pic][pic][pic].

Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл [pic] как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой [pic], мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.

Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем, одной и той же ширины [pic], а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

[pic] (1) где [pic] [pic], а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

[pic]

(рис.1)

На практике обычно берут [pic]; если соответствующую среднюю ординату
[pic] обозначить через [pic], то формула перепишется в виде
[pic].

Дополнительный член в формуле прямоугольников.

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.
Справедливо следующее утверждение:
У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка
[pic], что дополнительный член R в формуле (1) равен

[pic] (2)

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки