Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: экзамен, задачи курсовой работы
Добавил(а) на сайт: Подколодный.

5. [pic] [pic].

6. [pic] [pic].

7. [pic] [pic].

8. [pic] [pic].

9. [pic] [pic].
10. [pic][pic].

Сумма [pic].

Таким образом, [pic][pic].
В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.

П р и м е р 2. Вычислим интеграл [pic] с точностью до 0,001.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим [pic].
Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.
Так как для [pic] имеем [pic] (если [pic]), то [pic]
Если взять n=10, то дополнительный член нашей формулы будет [pic] Нам придётся внести ещё погрешность, округляя значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на [pic] С этой целью достаточно вычислять значение функции [pic] с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:

1. [pic] [pic].

2. [pic] [pic].

3. [pic] [pic].

4. [pic] [pic].

5. [pic] [pic].

6. [pic] [pic].

7. [pic] [pic].

8. [pic] [pic].

9. [pic] [pic].
10. [pic] [pic]

Сумма 6,9284.
[pic].
Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно и к их среднему арифметическому) содержится между [pic], а также принимая во внимание оценку дополнительного члена [pic], найдём, что [pic] содержится между границами [pic]и [pic], а следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694.
Таким образом, [pic].

Заключение.

Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.

Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x) мы исходили из разбиения основного сегмента [a, b] на достаточно большое число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из последующей замены функции f(x) на каждом частичном сегменте многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.

Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного сегмента [a, b] на n, вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.

Список литературы.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3- х томах, том II. (§§ 332, 335).

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки