Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. На рис. 42 изображены первый виток и часть второго.

Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, например, угол АОВ на три равные части (рис. 12.). Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON1, длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON1 (снова циркуль!). Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше угла AON.

Задачи Архимеда

Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 11. она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.

Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляются математиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.

Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим.

Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 13.): одно - по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое - вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтобы представить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2л ON [см]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим:

(2 л ON)/60 = ( л ON)/30

[см/с] т. е. немногим более, чем:

0,1ON [см/с] ( л /30    3,14/30    0,105).

Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ON, равную v см/с, и другую, к ней перпендикулярную, равную

( л ON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке.

Логарифмическая спираль

Кривую эту можно было бы назвать по имени Декарта, так как впервые о ней говорится в одном из его писем (1638 г.). Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека спустя Якобом Бернулли. На современных ему математиков эти свойства произвели сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены витки логарифмической спирали.

Архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r = ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота. Обычно уравнение логарифмической спирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовым числом е (п. 25). Такой логарифм числа r называют натуральным логарифмом и обозначают In r. Итак, уравнение логарифмической спирали записывается в виде ln r = ka

Конечно, угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитают измерять его в радианах, т. е. принимать за меру угла отношение длины дуги окружности между сторонами центрального угла к радиусу этой окружности. Тогда ловорот стрелки на прямой угол будет измеряться числом л    1,57, поворот на величину развернутого угла - числом л    3,14, а полный поворот, измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л    6,28.

Рис. 13.

Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения (Рис. 13).

Теорема Паскаля

Б. Паскалю (1623—1662) не было еще и 17 лет, когда он открыл замечательное общее свойство конических сечений. Об его открытии математикам поведала афиша, отпечатанная в количестве 50 экземпляров; только два из них дошли до нашего времени. Несколько таких афиш были расклеены на стенах домов и церквей Парижа. Пусть читатель не удивляется этому. Ведь тогда (1640 г.) еще не было научных журналов, на страницах которых можно было бы рассказывать другим ученым о своем открытии. Такие журналы появились лишь четверть века спустя, почти одновременно во Франции и Англии. Но вернемся к Паскалю.

Хотя его афиша и была напечатана на французском языке, а не на латинском, как это было тогда принято, парижане, глазея на нее, вряд ли могли понять, о чем там идет речь. Настолько сжато, без доказательств и пояснений излагал молодой гениальный автор свои мысли.

В начале афиши после трех определений шла под названием «леммы 1» теорема, которую мы перескажем здесь другими словами. Отметим на окружности какие-либо шесть точек, перенумеруем в любом порядке (не обязательно в том, в каком они расположены на окружности) и соединим их отрезками прямых; последний из них свяжет шестую точку с первой (рис. 14). Теорема Паскаля утверждает, что три точки пересечения прямых, полученных продолжением этих шести отрезков, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой и третьей с шестой, будут лежать на одной и той же прямой.

Рис. 14.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: век реферат, сочинение рассказ.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки