
Замкнутые инвариантные пространства функций на кватернионных сферах
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат машини, курсовые работы бесплатно
Добавил(а) на сайт: Дежнёв.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 | Следующая страница реферата
идею доказательства см. в [1].
Если
n=1, вектор порождает
неприводимое подпространство в H(p,q). Поскольку Da11S=(p+q)S, этот вектор
соответствует старшему весу
. Тогда 2x1 -
единственный положительный корень,
то есть H(p,q)
неприводимо.
Пусть n>1. Осталось теперь показать, что
Эту
формулу можно доказать по индукции, индуктивный переход делается от пары (p,q)
к паре (p+1,q-1), а , что
доказывает теорему.
Обозначим
через инвариантную
относительно вращений положительную борелевскую меру на S4n-1, для которой
.
Следствие
1. Пространство является
прямой суммой попарно ортогональных пространств P(p,q,r).
Следствие 2. Справедливы утверждения: a) В P(p1,q1,r1) и P(p2,q2,r2) при n>1 реализуются эквивалентные представления тогда и только тогда, когда p1+q1=p2+q2 и r1=r2.
b) При n=1 в H(p1,q2) и H(p2,q2) реализуются эквивалентные представления тогда и только тогда, когда p1+q1=p2+q2.
Пусть
Ws,r и Ws - пространства линейных комбинаций векторов и
соответственно
с комплексными коэффициентами,
. Введем также
пространства
и
при n>1.
Следствие
3. Ws,r и Ws - пространства старших векторов неприводимых представлений со
старшим весом и s соответственно.
Сплетающие операторы неприводимых представлений можно выразить как многочлены
от операторов L1 и L2.
Более подробные сведения из теории представлений можно найти, например, в [3].
3. Инвариантные пространства функций на S4n-1.
Пространство Y на сфере S4n-1 назовем инвариантным, если для всех f из Y и всех g из Sp(n) f*g лежит в Y. Неприводимость представления группы Ли Sp(n) эквивалентна неприводимости представления комплексификации ее алгебры Ли sp(n,C), поэтому пространства P(p,q,r) и H(p,q) при n=1 инвариантны.
Если
Y - инвариантное замкнутое подпространство , то
также
инвариантно и ортогональная проекция
коммутирует с
Sp(n). Это верно также для ортогональных проекций
и
.
Когда в пространствах V и W реализуются неприводимые представления, пространство сплетающих операторов из V в W либо одномерно (если представления эквивалентны), либо пусто. Отсюда, из следствия 2 теоремы 1 и предложения 1 вытекает
Предложение
3. Пусть n>1 и линейное отображение коммутирует с
Sp(n). Тогда
1)
если или
, то T=0.
2)
если r1=r2 и p1+q1=p2+q2, то найдется константа C, такая что при T=CL2p1-p2, при
T=CL1p2-p1.
Обозначим
через неприводимое
инвариантное пространство со старшим вектором
, а через
-замыкание
пространства Y.
Теорема
2. Если Y - замкнутое инвариантное подпространство , то
,
.
Доказательство.
Пусть n>1 и тройка (p,q,r) такая, что . Так как Y
инвариантно и
коммутирует с
Sp(n), то
-
нетривиальное инвариантное подпространство P(p,q,r). Значит,
Пусть
и Y1 -
ортогональное дополнение к Y0 в Y. Тогда Y0 инвариантно как ядро оператора, коммутирующего с Sp(n), значит Y1 также инвариантно. Более того,
- изоморфизм, обратный к которому обозначим
Выберем
другую тройку (p',q',r') и рассмотрим отображение Оно
коммутирует с Sp(n) и переводит P(p,q,r) в P(p',q',r'). Значит, по предложению
3,
для всех
(p',q',r'), таких что
Тогда
Y1 - подпространство . Рассмотрим
и содержащее
его минимальное инвариантное пространство, оно совпадает с Y1.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад листья, шпоры по социологии.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 | Следующая страница реферата