Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ” на тему:

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

Выполнил: ст-т гр. АК4-81

Смык В.Л.
Руководитель: профессор

Хабаров В.С.

Реутов 1997 г.

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.
“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С.
Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой.
Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны.
(Металлический шар устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала.
Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система

. x=Ax+b(, (=c’x, (1)

где ( и ( - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого (, [pic]( ( ([pic] система (1), дополненая соотношением (((((, асимптотически усойчива.

Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе
М([pic]) нелинейностей (((((,t), удовлетворяющих условию

[pic]( ((((t)/( ([pic] (2) достаточно, чтобы при всех (( (((((((( выполнялось соотношение

Re{[1+[pic](((((([pic]W(j()]}>0. (3)

Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы
F((((((([pic]((((((([pic]((( Действительно, как было показано выше, форма
F(j((() имеет вид

F(j((((((Re{[1+[pic]W(j(((((([pic]W(j()]}|(|[pic]
Из этой формулы после сокращения на |(|[pic] следует (3).
В (3) [pic]((( ( [pic](((( Случай, когда либо [pic] (((, либо [pic] ((( рассматривается аналогично.
Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(j().
Обозначая комплексную переменную W(j()=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:

Re[(1+[pic]z(((([pic]z[pic])](0, если [pic]((( ( [pic](((( (4)

Re[(1+[pic]z)z[pic]](0, если [pic]((( ( [pic](((( (5)

Re[z(1+[pic]z[pic])](0, если [pic]((( ( [pic](((( (6)

Пусть С([pic]) - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В([pic]) области определяемая уравнениями получаемыми из
(4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/[pic], -1/[pic] с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если [pic]>0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор ([pic]) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если [pic]=0 или [pic]=0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/[pic] или -1/[pic]. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов ([pic]) в плоскости (( (. Там же изображены кривые W(j(), (>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(j() еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход ( и выход ( которого удовлетворяют для всех t неравенству

([pic](-()((-[pic]()(0 (7)

[pic]

Рисунок 1, а.

Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки