Волны в упругой среде. Волновое уравнение
Категория реферата: Рефераты по физике
Теги реферата: российские рефераты, реферат людина
Добавил(а) на сайт: Володин.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 | Следующая страница реферата
§1. Математические сведения.
Этот параграф является математическим введением к тому динамическому рассмотрению волн, которое будет дано в $2. Рассмотрим произвольную функцию f(at-bx)
(2.3) от аргумента аt—bх. Продифференцируем ее дважды по t:
[pic]
(2.4)
Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу at—bx.
Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:
[pic]
(2.5)
Сравнивая (2.4) и (2.5), мы убеждаемся, что функция (2.3) удовлетворяет уравнению
[pic]
(2.6) где u=a/b.
Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция f(at+bx)
(2.7)
(2.7) аргумента at+bx, а также сумма функций вида (2.3) и
(2.7).
Функции (2.3) и (2.7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сторону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).
Уравнение (2.6)—дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или суперпозицией таких функций, например, f1(at - bх) + f2(at+bx).
Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида
[pic]
(2.6а) мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн.
Вид функций f1, f2 определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.
Пусть источником волн является плоскость х=0, причем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acoswt. В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны s= Acos(wt[pic]kx), k =[pic].
Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции s1, s2,s3, ... в отдельности, то ему удовлетворяет также функция
S == S1 + S2 + S3 + ...
(принцип, суперпозиции).
Рассмотрим несколько примеров. а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны s1 = Aсоs(wt — kx), s2= Acos(wt+kx).
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпаргалка егэ, реферат на тему искусство.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 | Следующая страница реферата