
Дифференциальные уравнения I и II порядка
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: скачать бесплатный реферат без регистрации, реферат на тему русские
Добавил(а) на сайт: Rafail.
Предыдущая страница реферата | 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | Следующая страница реферата
Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид ,
где c – произвольная постоянная.
Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения
или y2+x2=cx,
Последнее выражение приводится к виду
.
Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является
семейство окружностей с центрами в точках ,
лежащих на оси x, и радиусами
.
Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис.
6 изображено семейство этих окружностей.
Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения ,
Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.
Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным. Выполняя замену y=ux, приводим его к виду
или
.
Разделяем переменные, получаем
.
Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения
или
.
Подставим в него и получим
.
Логарифмируя обе части этого уравнения получаем
и далее
.
Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения.
Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим
их в общее решение , отсюда
и
.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид .
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y/+g(x)y=h(x).
Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/ его можно рассматривать как линейное.
Если , то уравнение принимает
простой вид y/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла
. Его общее решение тогда имеет
вид
.
Если , то уравнение называется однородным линейным.
Оно приобретает вид
, и, как нетрудно видеть, сводится
к решению уравнения с разделяющимися переменными
и
далее
.
Его общее решение имеет вид ,
где
- некоторая первообразная
для функции g(x).
Предположим теперь, что , функции
g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение
линейного дифференциального уравнения.
Представим исходное уравнение в виде
,
и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках, ,
т.е. как бы полагая в общем решении
.
Тогда вышеприведенное уравнение примет вид
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: собственность реферат, шпаргалки бесплатно скачать.
Предыдущая страница реферата | 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | Следующая страница реферата