Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Необходимое условие устойчивости.

Пусть характеристическое уравнение линейной или линеаризованной системы уравнений (12) возмущенного движения представлено в виде (17), причем, для определенности

В противном случае уравнение умножают на –1.

Нетрудно доказать следующее необходимо условие устойчивости. Для устойчивости линейной системы любого порядка необходимо, но не достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными.

Иными словами, если линейная система устойчива, то коэффициенты ее характеристического уравнения положительны, но не наоборот.

При доказательстве положим, что система заведомо устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части:

Характеристическое уравнение (17), как известно, можно записать в виде:

Тогда, подставляя (24) в (25), получим

Последнее соотношение можно записать в следующей форме:

Легко сообразить, что, раскрывая скобки и перемножая сомножители в последнем выражении, можно получить только положительные коэффициенты в характеристическом уравнении (17).

Тем самым доказано утверждение, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (28), (23), если система устойчива.

Критерий Гурвица.

Гурвиц разработал критерий, который дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. Приведем эту теорему без доказательства.

Общий определитель Гурвица ?n имеет n столбцов и n строк и составляется из коэффициентов a? (23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:

Частные определители Гурвица имеют вид: и так далее. Общий определитель ?n может быть разложен по последнему столбцу и составит:

Критерий Гурвица формулируется следующим образом.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все n частных определителей Гурвица ??, ?=1,2,..n, получаемых из общего определителя (30), (31), составленного из коэффициентов а0, а1, а2,...аn характеристического уравнения (17), были положительны: откуда, в частности, вытекает условие

Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).

Тогда для системы первого порядка с характеристическим уравнением условием устойчивости в соответствии с критерием Гурвица будет

Для системы второго порядка с характеристическим уравнением

условия устойчивости согласно критерию Гурвица примут вид:

Из последних двух условий получим:

Т. о., для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1- го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).

Наконец, рассмотрим систему третьего порядка с характеристическим уравнением

Для которой на основании критерия Гурвица можно записать следующие условия устойчивости:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом о высшем образовании, шпоры по физике.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки