Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Разложим функцию U(i) в ряд в точке I0 по степеням малых возмущений ? и ограничимся величинами первого порядка малости, пренебрегая всеми членами более высоких порядков малости:

Обозначим величину дифференциального сопротивления нелинейного сопротивления Rd в точке i=I0:

Тогда подставляя (53), (52), (49) в (51) получим линеаризованное уравнение цепи: где

Представляя решение (54) в виде получим характеристическое уравнение системы и явную зависимость ?(t) в следующей форме:

Следовательно, состояние линейной системы (54) асимптотически устойчиво, а исходная нелинейная система (51) устойчива в обычном смысле.
Если выполняется условие

Используя обозначение (55) окончательно получаем:

Последнее выражение представляет собой известный критерий Кауфмана для устойчивой рабочей точки электрической дуги.

Устойчивость решений уравнения Дуффинга.

Запишем уравнение движения неконсервативного нелинейного осциллятора, находящегося под гармоническим внешним воздействием, для случая среды с вязким трением (7.2), (11.1)

1) Формулы с двойными номерами здесь – (7.2), (11.1) - и ниже –

(7.5), (3.20), (9.5), (11.3), (11.5) – цитируются по книге [4].

2) Поскольку символ ? использован везде в настоящем разделе для обозначения корней характеристических уравнений. где символом ? обозначена в соответствии с (7.5) удельная вязкость среды;
?0, ? – (3.20), F – (9.5).

Правую часть уравнения можно представить в виде суммы синусной и косинусной компоненты: где F1, F2 определяются выражениями (11.3) и справедливы формулы (11.5).

При исследовании устойчивости для описания поведения рассматриваемой системы при появлении малых возмущений необходимо использовать полную подстановку Ван дер Поля: где a(t), b(t) – медленно изменяющиеся функции. Вычислим первую и вторую производные функции y(t) по времени t:

Используя медленность изменения функции a(t), b(t) и малость параметра ?, пренебрежем в формулах (64) слагаемыми вторых порядков малости:

Подставив последние выражения и (63) в уравнение (61), получим:

Тригонометрический двучлен третьей степени в левой части равенства без учета всех компонент, кроме колебаний с основной частотой ? может быть представлен в следующем виде:

Подставив это выражение в предыдущие и сгруппировав слагаемые с одинаковыми тригонометрическими функциями получим два соотношения:

Отсюда, разрешая равенства относительно a, b, можно записать систему
«укороченных» уравнений:

Рассмотрим стационарное решение:

Тогда для определения амплитуд стационарных колебаний a0, b0 на основании системы (69) получаем алгебраические уравнения:

Ранее решение (11.6) было получено в частном случае наличия одного только синусного колебания:

При этом из (71) получаем выражения:

совпадающие, как и следовало ожидать, с (11.9). Тогда. Использую (11.5),
(73) можно записать формулу (11.10):

Определяющую резонансную зависимость рассматриваемого осциллятора
|a0|(?) или его «управляющую» характеристику |a0|(F).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом о высшем образовании, шпоры по физике.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки