Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.……………………….17

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.………………………………19
§2.2. Температурные волны.……………………………………………………….23
Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.
§3.1. Дифракция излучения на сферической частице……………………………29
Заключение………………………………………………………………………….40
Литература…………………………………………………………………………..41

ВВЕДЕНИЕ

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными.
Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция (U + (V при любых постоянных ( и ( снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений.
Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк.
В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

[pic] называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

1.1.1. Уравнение колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.
Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины [pic] в начальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до [pic]. Предположим, что концы струны закреплены в точках [pic]. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией [pic], которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Рис. 1.1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости [pic], то будем предполагать, что длина элемента струны [pic] равняется ее проекции на ось Ox, т.е. [pic].1 Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны [pic].

Рис. 1.2.
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы [pic]. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент [pic], будет равна [pic]. Так как угол [pic] мал, то можно положить [pic], и мы будем иметь:

[pic]
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть [pic] - линейная плотность струны.
Тогда масса элемента струны будет [pic]. Ускорение элемента равно [pic].
Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

[pic].
Сокращая на [pic] и обозначая [pic], получаем уравнение движения

[pic]. (1)
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция [pic] должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны [pic], и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки