Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

[pic] (24) также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

[pic] (25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке [pic], разлагается в ряд Фурье

[pic] (26) где

[pic] (27)

Если функции ((x) и ((x) удовлетворяют условиям разложения в ряд
Фурье, то

[pic] (28)

[pic] (29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

[pic] (30) чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция [pic] должна быть дважды дифференцируемой, а [pic] - один раз дифференцируемой.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

1. Уравнение распространения тепла в стержне.

Рассмотрим однородный стержень длины [pic]. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = [pic].

Рис. 2.1.

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

[pic] (1) где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = [pic]х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время [pic]t, будет равно

[pic] (2) то же самое с абсциссой х2:

[pic] (3)
Приток [pic]Q1 - [pic]Q2 в элемент стержня за время [pic]t будет равняться:

[pic] (4)
Этот приток тепла за время [pic]t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину [pic]u:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки