Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic] (9) и начальным условиям

[pic] (10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

[pic]

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

[pic] (11) и представимое в виде произведения

[pic] (12) где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

[pic] или, после деления на XT,

[pic] (13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ [pic], t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х.
Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

[pic] (14) где [pic] – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)

[pic] (15)

[pic] (16)
Граничные условия (11) дают:

[pic]
Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X(0) = X([pic]) = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

[pic] в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:

найти те значения параметра [pic], при которых существуют нетривиальные решения задачи:

[pic] (18) а также найти эти решения. Такие значения параметра [pic] называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр [pic] отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При [pic] ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки