Методы решения уравнений в странах древнего мира
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: конспекты занятий в детском саду, личные сообщения
Добавил(а) на сайт: Melan'ja.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:
[pic] откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.
Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2
Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения
которого поэтому называют «пифагоровыми тройками», они нашли бесконечно
много таких троек, имеющих вид:
[pic]
Кубические уравнения
Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим
уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О шаре
и цилиндре» (книга II, предложение 4) свел задачу о рассечении шара
плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение т :
п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции
[pic]
(1)
где а — радиус шара.
Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и а—х
так, чтобы
(а — х) : с = S : х2, (2)
где с и S — заданные отрезок и площадь.
Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима
(имеются в виду только положительные действительные решения), Архимед
приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он
говорит, что изложит полное решение задачи «в конце», однако
соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архимеда
греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили
собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел
провести анализ общего случая.
Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное
место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:
Параболы
[pic]
(3) и гиперболы
[pic]
(4)
(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2).
Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к
кубическому уравнению x2(a-x) =
Sc (5)
которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что
уравнение (5) может иметь положительные корни, если
[pic]
Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).
Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия существования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:
1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;
2) если Sc = 4aз/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: школьные рефераты, реферат по истории.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата