Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

                                                           

Полученный остаток разделим на 9 и выполним третье деление:

                                                  

                                                        

                                                     

                                                     

                                                           0

Поскольку остаток равен нулю, то .

Наибольший общий делитель нескольких многочленов f1, f2, ..., fm может быть найден индуктивным способом на основании следующей формулы:

.                           (10)

Для того чтобы найти наибольший общий делитель многочленов , следует, согласно этой формуле, найти сначала , затем  и т.д.;  и будет искомым наибольшим делителем.

Докажем формулу (10). Согласно определению наибольшего общего делителя, делители многочлена  - это в точности общие делители многочленов . Поэтому совокупность всех общих делителей многочленов  и fm совпадает с совокупностью всех общих делителей многочленов  и fm; отсюда и следует формула (10).

Наибольший общий делитель d двух многочленов  над полем R, а также всякий многочлен, кратный d, может быть представлен в виде , где . Такое представление мы называем линейным выражением данного многочлена через многочлены f и g.

Для нахождения линейного выражения наибольшего общего делителя d можно воспользоваться алгоритмом Евклида. В самом деле, первое из равенств (9) дает следующее линейное выражение многочлена r1 через f и g: . Подставляя его во второе равенство, получаем линейное выражение многочлена r2:  . Продолжая так дальше, получаем, в конце концов, линейное выражение наибольшего общего делителя .

Пример. Найдем линейное выражение наибольшего общего делителя d многочленов f и g из примера 14.

Результаты делений с остатком, выполненных при решении предыдущего примера, показывают, что , . Отсюда находим: ,   . Таким образом, , .

Линейное выражение любого многочлена h, кратного d, может быть найдено, исходя из линейного выражения d. А именно: пусть  и . Тогда .

На практике линейное выражение многочлена h удобнее искать не с помощью алгоритма Евклида, а методом неопределенных коэффициентов. Запишем искомые многочлены u и v в общем виде с неопределенными (неизвестными) коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве , получим систему уравнений для коэффициентов многочленов u и v. Легко видеть, что эти уравнения будут линейными.

7. Наименьшее общее кратное.

Наименьшим общим кратным многочленов  над полем R называется многочлен h, обладающий следующими свойствами: 1) h делится на каждый из многочленов , т.е. является их общим кратным; 2) h делит любое общее кратное многочленов .

Теорема  Для двух многочленов f и g наименьшее общее кратное [f, g] связано с наибольшим общим делителем (f, g) соотношением

                                  (11)

Доказательство. Для доказательства формулы (23) положим , , ,  и рассмотрим многочлен

                                                (12)

Многочлен  является общим кратным многочленов f, g и, следовательно, делится на h. Теперь рассмотрим многочлен . Равенства ,  показывают, что  - общий делитель многочленов f, g; следовательно,  делит d, т.е. , где q - некоторый многочлен. Отсюда получаем: , т.е. . Стало быть, h делится на . Таким образом, h и  ассоциированы, т.е. , где , . Из (24) получаем тогда, что , что и требовалось доказать.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: план конспект, реферат по праву.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки