Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7

,

т.е. обе части сравнения и многочлен можно делить и умножать на один и тот же многочлен.

Доказательство. Так как  - общий делитель многочленов , ,  то существуют многочлены , ,  такие, что: , , . Отсюда и из определения делимости многочленов, учитывая отсутствие делителей нуля в кольце, получим:

.

И теперь эта теорема следует непосредственно из теоремы 7.

9. Классы вычетов.

Определение. Класс всех многочленов, сравнимых с многочленом  по многочлену , называют классом вычетов по многочлену  и обозначают через . Множество всех классов вычетов по многочлену  обозначим

Определим на множестве  операции сложения и умножения.

Определение. Для любых ,  положим:

+=, =.

Таким образом, чтобы сложить (перемножить) классы ,  нужно выбрать из них по одному представителю, сложить (перемножить) их как многочлены и взять класс, содержащий полученный многочлен. В определении в качестве таких представителей выбраны многочлены  и . Однако в классах ,  содержится много других многочленов, и мы заранее не уверены в том, что результат сложения (умножения) классов не зависит от выбора представителей. Если бы результат зависел от выбора представителей, то складывая одни и те же классы, мы могли бы получать разные результаты. Это бы означало, что операции определены некорректно.

Докажем, что определение корректно.

Действительно, пусть, , . Тогда ,  и по теореме 8 имеем:

, ,

т. е. .

Следовательно, результаты операций над классами не зависят от выбора представителей, т. е. операции определены корректно.

Скачали данный реферат: Ivlev, Vita, Чучанов, Putilov, Жеффре, Жиренков.
Последние просмотренные рефераты на тему: шпаргалки по педагогике, реферат беларусь, контрольные 10 класс, образец курсовой работы.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки