Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

(14)

Так как при  происходит обслуживание требований только по потоку , то при  получим, что  при всех  и , а при  имеем:

(15)

а при любых :

(16)

Наконец для вероятностей  имеем  при любом ,  , .

(17)

а при любых , .

(18)

Заметим, что поскольку вероятности  для , ,  то из (12) непосредственно следует, что  при всех для , , .

Уточним теперь структуру цепи Маркова . Обозначим через . Сформулируем и докажем два вспомогательных утверждения, касающихся общей структуры цепи и асимптотического поведения распределения рассматриваемой цепи Маркова при .

Лемма 1. Пространство  состояний цепи Маркова  распадается на незамкнутое множество  несущественных состояний  и минимально замкнутое множество  существенных сообщающихся непериодических состояний.

Доказательство.   Из  того, что  и  для всех , следует что случайный процесс  за некоторое конечное число шагов из произвольного состояния  с положительной вероятностью по цепочке  попадёт в состояние . Следовательно состояние  является существенным. Согласно теореме 3.5 из /7/ совокупность состояний цепи, сообщающихся с  также является существенным. Используя полученные нами рекурентные соотношения (12)-(18) и приведённые выше замечания нетрудно видеть, что множество

Покажем, что  не содержит других состояний, кроме отмеченных. Возьмём, к примеру, состояние  где . Тогда по цепочке переходов  цепь Маркова  перейдёт из существенного состояния  в состояние . Следовательно, состояние  является существенным и сообщающимся с . Указанный переход возможен  с положительной вероятностью, поскольку   и . Аналогично доказывается, что возможен переход из  или  в любое другое состояние, не принадлежащие множеству . Значит . Поскольку состояние  достижимо из  любого состояния , то множество  не является замкнутым, а  содержит единственное  замкнутое минимальное . Из очевидного неравенства

следует, что все состояния из будут непериодическими (/8/ стр. 408). Лемма доказана.

 

Лемма 2. При любом начальном распределении  векторной цепи Маркова  либо для всех  :

  и в системе не существует стационарного распределения, либо существуют пределы:

такие, что , и всистеме существует стационарное распределение.

Доказательство.  Из  структуры множества  и из того, что  следует, что векторный случайный процесс  из произвольного состояния  с положительной вероятностью, не меньшей, чем , за один шаг может достигнуть множества . Обозначим через  вероятность того, что рассматриваемая цепь Маркова исходя из произвольного несущественного состояния  когда-либо достигнет некоторого существенного состояния из . Известно, что величины  , являются решениями системы уравнений вида (8.6), приведённой в /8/ на стр. 392. Тогда, в силу неравенства  и леммы 1, эта система является вполне регулярной и имеет ограниченное решение , . В этом можно убедиться непосредсвенной подстановкой. По теореме 11 из /9/ это решение будет единственным. Отсюда на основании эргодической теоремы  в главе 15 из /8/ получим утверждение доказываемой леммы.

Итак, ассимптотическое поведение одномерного распределения  случайного векторного процесса  при  не зависит от начального распределения .

 

Заключение.

            В конце этой (весьма краткой) работы хочется подвести итог того, что нами было уже сделано:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад образование, контрольные 5 класс.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки