Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic]

[pic] (26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов
Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть fi - cсобственный вектор Фi , отвечающий максимальному собственному значению ri. Чтобы определить [pic] следует решить задачу на собственные значения для оператора [pic]:

[pic].
Поскольку rank[pic]=1, [pic] имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому

[pic].
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для [pic] (

Лемма 4. Для любого изображения [pic] решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом [pic].

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri, можно выбрать так, чтобы [pic], поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

[pic], составляющие содержание леммы. Действительно, если [pic] то согласно (23)
[pic], поскольку включение [pic] означает, что[pic][pic]; отсюда и из (25) получим, что [pic][pic],i=1,...,N, а поэтому и в (24) [pic][pic].

Убедимся в неотрицательности [pic]. В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором [pic], выходной сигнал i-го детектора в точке [pic]
(см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид [pic], p=1,...,n, где [pic], [pic].

Так как матрица [pic] симметрическая и неотрицательно определенная
([pic]) она имеет n неотрицательных собственных значений[pic], которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов [pic], а поскольку матричные элементы [pic], то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение [pic] - алгебраически простое
(некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:
[pic]. Следовательно, вектор fi определен с точностью до положительного множителя [pic], [pic]. (

Замечание 4.

Если [pic] , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения [pic]имеет постоянный цвет, то в теореме 3 [pic], [pic].

Наоборот, если [pic], то
[pic], т.е. [pic] определяется выражением (17), в котором [pic].

Итак, пусть в изображении g(() (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком смысле [pic] изображения (17) есть множество решений уравнения

[pic],[pic], (27)

где [pic], fi - собственный вектор оператора Фi: [pic], отвечающий максимальному собственному значению ri, i=1,...,N . В данном случае [pic], если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения [pic] , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения [pic] (17).

Заданы векторы цвета (1,..., (q, требуется определить разбиение
A1,..., Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета (1,..., (q и оптимальные распределения яркостей
[pic][10].

Речь идет о следующей задаче наилучшего в [pic] приближения изображения [pic]

[pic]. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы [pic]. Так как для любого измеримого [pic]

[pic], (29)

и достигается на

[pic], (30)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 7, скачать реферат бесплатно без регистрации.



Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки