Основная теорема алгебры
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: оформление диплома, сочинение 7
Добавил(а) на сайт: Milen.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4
При таком выборе ckhk=-| ckhk| следовательно учитывая (4) получим
Что доказывает лемму Даламбера.
Лемма №5.
Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.
Доказательство.
Предположим, что это не верно тогда
получена бесконечная ограниченная последовательность xn,
из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность 
, пусть ее предел равен x0. Так как круг Е замкнут, то x0 пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна
получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености f(x).
Лемма №6.
Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.
Доказательство.
Докажем это утверждение для максимума.
Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно существует M=sup{ f(x)}. Рассмотрим функцию 
.
Если f(x) не достигает своего максимума, то M> f(x) следовательно M-f(x)>0 , следовательно g(x) непрерывна в Е.
Полученое противоречит тому, что M=sup{ f(x)}. Следовательно функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.
Доказательство основной теоремы.Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если an-свободный член, то f(0)= an. Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|an| тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга. Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x0, что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x0)|. x0 является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N |f(x)|>M>|f(0)|>|f(x0)| точка x0 является точкой минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.
|f(x0)|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x0)|¹ 0 то x0 не точка минимума для |f(x)|Þ x0-корень многочлена f(x).
Теорема доказана.
Скачали данный реферат: Каржов, Крылаев, Туполев, Ян, Кризько, Блатов.
Последние просмотренные рефераты на тему: реферат роль, новшество, современные рефераты, гражданин реферат.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4